Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

G~. Grundlagen dieser neuen Theorie. 167
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Da bewiesen worden ist, dafs das Polynomn X keinen rationalen
Faktor haben kann, wenn n eine Primzahl ist, so kann die Auflösung der Gleichung X = 0 nur so bewerkstelligt werden, dafs man
X in irrationale Faktoren zerlegt. Die Theorie, die wir, Gauss
folgend, auseinandersetzen werden, hat nun den Beweis des folgenden,
sehr allgemeinen, Satzes zum Ziele:
Hat man n-1 in Primfaktoren a, b c,... zerlegt, so dafs
n - 1 -l= ca'bc..
ist, so läfst sich die Auflösung der Gleichung X = 0, oder,
was auf dasselbe hinauskommt, der Gleichung x"- 1==0
immrer zurückführen auf die Auflösung mehrerer Gleichungoen vonl niedrigerem Grade, nämlich auf a Gleichungen
vomn Grade a, auf P Gleichungen vom Grade b, auf y Gleichungen vom Grade c u. s. w.
Ist z. B. n = 73, wodurch sich n - l = 23 3 32 ergiebt, so wird
die Auflösung der Gleichung x7 - 1 =0 bewerkstelligt mit Hülfe
dreier Gleichungen zweiten Grades und zweier Gleichungen dritten
Grades.
Ist n- =17, also n -- 1 = 24, so folgt die Auflösung der Gleichung x7 -- 1 = aus der Auflösung von vier Gleichungen zweiten
Grades.
Man kann somit den Kreisumfang in siebzehn gleiche
Teile auf elenmentar-geometrischem Wege teilen, eine Thatsache, an deren Möglichkeit man vor dem Bekanntwerden des Gaussschen Beweises weit entfernt war zu glauben.
Allgemein läfst sich, wenn die Primzahl n vorn der Formn 21 -+-
ist, die Auflösung der Gleichung xn - 1 = - auf diejenige voln im
Gleichungen zweiten Grades zurückfüllren; mian hat sogar nur m — 1
solcher Gleichungen nötig, wenn es sich um die Teilung des Kreises
in nl gleiche Teile handelt.
Wir bemerken, dafs 21 -- 1 keine Prirmzahl sein könnte, wenn
m ungerade wäre oder auch nur einen ungeraden Teiler hätte. Denn
die Zahl 22k+1 + 1 hat den Faktor 3 und 2"/ -- 1 hat den Faktor
2" +- 1, wenn. ß ungerade ist. Mithin kani 21" -+- nur Primzahl
sein, wenn in eine Potenz von 2 ist; aber auch dann ist es nicht
immer Primzahl. Z. B. ist dies nichlit der Fall, wenn ii t- 2)- 32.
Nilmmt man nach dlen schon bekannten Fällen m -n 1, 2, 4 den
Fall m1 = 8, so ergiebt sich n = 2s + 1 -- 257, und dies ist eine