Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

4 Vierter Hauptteil.
genügen, und diese geht, wenn man darin die gefundenen Werte von
q und n einsetzt, in /4 + 494- = 2 über.
Diese Gleichung, welche möglich sein mufs, wenn der Flächeninhalt A eine Quadratzahl ist, zeigt ein neues rechtwinkliges Dreieck
an, welches aus der Hypotenuse n und den beiden Katheten f2 und 2g'
gebildet ist. Da nun der Flächeninhalt dieses Dreiecks gleich f2g2
und somit gleich einer Quadratzahl ist, so folgt daraus, dafs man,
wenn der Flächeninhalt des gegebenen rechtwinkligen Dreiecks gleich
einer Quadratzahl ist, mit Hilfe dieses Dreiecks immer ein kleineres,
aber nicht verschwindendes Dreieck finden kann, dessen Flächeninhalt
ebenfalls gleich einer Quadratzahl ist.
325.
Um sich ein Urteil über die Kleinheit dieses zweiten rechtwinkligen Dreiecks im Vergleich zu dem ersten bilden zu können,
mufs man den Wert von A durch fund g ausdrücken. Nun findet nman:
A = (m24 - n4) m2sn2 - 4f'2g (/f2 2g2)2 (f2 + 212)2 (/4 + 4g4).
Ferner kann f2 -- 22 nicht kleiner als 1 sein, und iberdies ist stets:
(/' + 22)2 > Sfg22, /4 + 4 4 > 4/'2g2
Mithin ist der Flicheninhalt A > 128 /$/f. Wird demnach f2g2, welches der Flicheninhalt des zweiten Dreiecks ist, mit A' bezeichnet,
so hat mall:
A' < [/i1'
128
Wenn somit ein rechtwinkliges Dreieck in ganzen Zahlen existiert,
dessen Flicheninhalt gleich einer Quadratzahl ist, so giebt es zu
Ausdruck jener Seite vorkormmt, die eine Kathete, das doppelte Quadrat die
andere Kathete dar.
Es wird daher jenes rechtwinklige Dreieck mittelst zweier Quadratzahlen
gebildet, deren Summe und Differenz Quadratzahlen sind. Diese beiden Quadratzahlen sind aber, wie man beweisen kann, kleiner als die zuerst angenommenen
Quadratzahlen, deren Summe und Differenz Quadratzahlen darstellten. Wenn es
also zwei Quadratzahlen giebt, deren Summe und Differenz ebenfalls Quadratzahlen sind, so giebt es unter den ganzen Zahlen auch zwei andere Quadratzahlen von derselben Beschaffenheit, welche kleiner sind als die ersteren. Aus
demselben Grunde giebt es wieder noch zwei andere, welche kleiner sind als
die auf die vorige Weise gefundenen, und so findet man unter den ganzen Zahlen
bis ins Unendliche hin immer kleinere Zahlen, welche dasselbe leisten. Dies ist
aber unmöglich, da es nicht unendlich viele ganze Zahlen geben kann, welche
kleiner sind als eine beliebige gegebene ganze Zahl.