Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

166 Fünfter Hauptteil.
p" — =- (1 - ^) (l - b ) (1 - t ) (1 -1 U) *
) -- (l ~ 3) (l -,3) (I t') (I -n13) * *.
so sind alle diese Zahlen 1'p/, p, "',...Q"-) offenbar positive ganze
Zahlen.
Multipliciert man jetzt alle Gleichungen mit einander, und beachtet man, dafs zufolge der Gleichung X= (x - r) (xr - s) (x - t)
für jede der Wurzeln r, s, t,... die Gleichung gilt:
( ^ (l- 2) t - r3) (l - n-1) j- *
(l - s) (I '- ) (1 — s') * * * (1 _ 5.1n-1) _ n
Ii. S. wV.,
so wird das Produkt:
j)'1)") * ~ * )(~-) --.( '.
Da aber alle Gröfsen ' p,,.. p(1- positive ganze Zahlen sind,
und ihre Anzahl n - 1 gröfser als v ist, so müssen, wenn ihr Produkt
V sein soll, einige von ihnen gleich n oder einer Potenz von n und
die andern gleich der Einheit sein. Die Anzahl der letzteren kann
nicht kleiner sein als 1 -- - v. Nennt man dieselbe 7k, so ist
offenbar die Summle p'-+ - p"- * + " p(n-) von der Form 7 +- An.
Nun haben wir (No. 487) bewiesen, dafs dieselbe Summe, wenn man
p(f1), welches gleich Null ist, noch nit hinzunimmt, ein Vielfaches
von n ist. Es müfste somit k +- An, == Bn sein, eine Gleichung,
welche nicht stattfinden kann, da 1k < v und > n - 1 - v oder
- n -- 1 - v ist. Wenn demnach P ein T'eiler der Funktion X ist,
so können die Koefficienten von P keine ganzen Zahlen sein. Mithin
kann die Funktion X nur irrationale Faktoren haben.
Bemerkung. Dieser Satz würde nicht gelten, wenn n eine
zusammengesetzte Zahl wäre. Denn ist n -- aß, wo a und ß zwei
ungerade Zahlen bedeuten, welche Primzahlen oder keine Prinzahlen
sind, so kann llmanl
y Xz -1 - -- l X -- 1
- ~x-l "1 _- Xi 2
setzen. Nennt man ldaher P das Polynomn x~,1 - <-'-2 +... welches
gleich und Q das Polynom xc, ' + x"-s'"... welches
gleich -- ist, so erhält man: X = PQ.
x 2