Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

164 Fünfter Hauptteil.
Man beachte wohl, dafs dieser Satz gilt, wie viele der Wurzeln r, s, t,... auch in der Funktion cp vorkommen mögen.
488.
Satz. Wenn das Polynom
Z - x7'1 + Axm -1 +4 BXm-2 + Cx' —3 +. *
in welchem die Koefficienten A, B, C,... ganze Zahlen
sind, durch das Polynom
p = xn + ax7'- + bxn-2 +.,
dessen Koefficienten a, b, c,... sämitlich rational sind,
teilbar ist, so missen diese letzteren ebenfalls ganze
Zahlen sein.
Hat man nämlich alle Glieder von P, das erste x' ausgenolmmen,
auf einen und denselben Nenner gebracht, und ist dieser Nenner
gleich W'A, wo a, die höchste Potenz einer der in ihm aufgehenden
Primzahlen bedeutet, so kann man setzen (No. 14):
p" p"'
o =, P +
wo P', P", P"' Polynome von x sind, deren Koefficienten ganze
Zahlen sind, und zwar das erste vom Grade n und somit mit dem
Gliede kx beginnend, die beiden andern höchstens vom Grade nz- 1.
Nennt man Q den Quotienten, welcher sich bei der Division von Z
durch P ergiebt, so kann man in ähnlicher Weise setzen:
D =sc + +n
Da sich nun das Produkt PQ in ein Polynom verwandeln soll, dessen
Koeffieienten ganze Zahlen sind, so mufs das Glied -,+", von selbst
verschwinden, weil die andern in ihren Nennern nur Potenzen von a
von niedrigerem Grade besitzen. Mithin ist wenigstens eine der
Gröfsen P" und Q" gleich Null. Dies kann aber nicht P" sein, da
P in seinen Nennern ua enthält. Folglich ist Q"- 0, d. h. es kommt
a nicht in den Nennern von Q vor. Dasselbe kann man von den
andern Primzahlen behaupten, welche als Nenner in den Koefficienten
von P auftreten. Folglich enthält der Quotient Q keinen Bruch, und
er mufs somit eine ganze Funktion sein. Nachdem dieses festgestellt
ist, hat man:
Z=PQ==Q+ S' + -p Q
Da aber Z eine ganze Funktion ist, so iurs P"-Q ebenfalls eine
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