Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 1. Grundlagen dieser neuen Theorie. 163
Diese Gleichungen gelten, ohne dafs man diejenige der Wurzeln der
Gleichung X= 0, welche man für r nimmt, bestimmt anzugeben hätte.
487.
Satz. Ist (p(r,s, t, n,...) eine ganze rationale Funktion*)
der Wurzeln r, s, t U,,.. der Gleichung X= 0 oder nur
einiger von ihnen, und substituiert man in dieser Funktion
für die Wurzeln r, s, t, u,... der Reihe nach ihre Quadrate,
ihre Kuben und schliefslich ihre nten Potenzen, welche sich
auf die Einheit reducieren, so ist die Summe der so gebildeten Funktionen
q(r, s, t,...) + 2(r, t2, ). q(, 2t, t..)
gleich einem Vielfachen von n.
Da nämlich jedes einzelne Glied der Funktion qp von der Form
ArIstY... ist, und die Wurzeln s, t, 1,... bestimmte Potenzen
einer derselben r sind, so ist klar, dafs dieses Glied sich stets auf
die Form Ar' reduciert, wobei man i < n annehmen kann. Mithin
nimmt die ganze Funktion p(r, s, t, it,...) die Form an:
A' + A"'1 + A"' 2 +.. + A(n)-1.
Setzt man darauf r2 an die Stelle von r, wodurch sich zugleich s
in s2, t in t2, u. s. w. verwandelt, so wird die Funktion
0(2, S2, tH2,,...)
dargestellt sein durch:
A' + A"r2 +- A"' +r + A(n)2 'P —2,
und allgemein die Funktion (q (r(, S(, t1,...) durch:
A' + A" ' — + A"'r2" + -. + A(n) ^( -1)c
Mithin ist die Summe aller dieser Funktionen, bis zu (p(rn. sn, t...)
einschliefslich, gleich:
A' + A"(.r + q2 + r,:) +... + l)
+- A"(,9' 4 + r ^ +....+ r -)
4+ a4()(-ln-1 + 4 — + -,3n —3 +. + 9 (rn(n-1))o
Diese Gröfse reduciert sich aber auf nA' (No. 486) und ist demnach
ein Vielfaches von n.
*) Man nennt ganze rationale Funktion der Gröfsen 2, s, t, ut,.. jede
aus beliebig vielen Gliedern von der Form Ar"'s/t'..., wo A eine ganze Zahl
ist, bestehende Funktion. Anm. d. Verf.
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