Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

Fünfter Hauptteil.
Anwendung der unbestimmten Analysis bei der Auflösung der
Gleichung x" - 1- O, in welcher n eine Primzahl ist.
~ 1.
Grundlagen dieser neuen Theorie.
484.
Sondert man von der linken Seite den Faktor x- 1 ab und
setzt man:
x -- x-l + x~n-2 + X' —3 +. * + X+- 1,
so besitzt bekanntlich nach dem Cotesischen Satze das Polynom X
den allgemeinen Faktor:
n2k
X2 —X Cos + 1,
wobei k eine beliebige durch n nicht teilbare Zahl ist, so dafs man,
wenn man k der Reihe nach die Werte 1, 2, 3, - -(n - 1) beilegt, alle Faktoren erhält, aus denen dieses Polynom zusammengesetzt ist.
Die Kenntnis der Analysten von der Auflösung der Gleichung
x"- 1 = 0 beschränkte sich nahezu auf diesen einzigen Satz, als
Gauss sein ausgezeichnetes Werk,Disquisitiones arithmeticae" veröffentlichte. Man findet in diesem eine neue und sehr vollständige
Theorie der Auflösung eben jener Gleichung oder, was auf dasselbe
hinauskonmmt, der Teilung des Kreisumfanges in n gleiche Teile.
Da diese Theorie eine der interessantesten Anwendungen der unbestimmten Analysis ist und dieselbe zu sehr
merkwürdigen Resultaten führt, so glaubten wir unsern
Lesern einen Gefallen zu erweisen, wenn wir dieselbe hier
mit neuen Entwicklungen darlegen.
Legen dre, Zallentheorie II. 11