Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 18. Eine auf das Schachbrett sich beziehende Aufgabe. 159
Jedoch läfst sich dieser zweite Teil dem ersten nicht derart anpassen,
dafs sie beide ein einziges Schema von 1 bis 64 bilden.
Um diese zweite Bedingung zu erfüllen, giebt Euler den ersten
Teil in folgender Anordnung:
22. 7. 32. 1. 24. 13. 18. 15
31. 2. 23. 6. 19. 16. 27. 12
8. 21. 4. 29. 10. 25. 14. 17
3. 30. 9. 20. 5. 28. 11. 26.
Nach seiner Vorschrift hat man sodann zu allen diesen Zahlen 32
zu addieren und das Resultat in umgekehrter Richtung zu schreiben,
indem man die Zahlen von links nach rechts nimmt und die letzte
Zeile zur ersten macht. Fügt man diesen zweiten Teil dem ersten
hinzu, so ergiebt sich das vollständige Schema:
58. 43. 60. 37. 52. 41. 62. 35
49. 46. 57. 42. 61. 36. 53. 40
44. 59. 48. 51. 38. 55. 34. 63.47. 50. 45. 56. 33. 64. 39. 54.... b
22. 7. 32. 1. 24. 13. 18. 15
31. 2. 23. 6. 19. 16. 27. 12
8. 21. 4. 29. 10. 25. 14. 17
3. 30. 9. 20. 5. 28. 11. 26.
Man sieht hieraus, dafs die symmetrisch gegenüberliegenden Zahlen
in den beiden durch die Linie ab getrennten Hälften sich beständig
von einander um 32 unterscheiden. So hat man 58 - 26 = 32,
57 - 25 32, u. s. w. Dieselbe Eigenschaft besteht bei den vier
Formen, welche dieses Schema annehmen kann.
Da man vom Felde 1 auf das Feld 16 und vom Felde 64 auf
das Feld 15 übergehen kann, so läfst sich der vorstehende Gang in
den folgenden 1, 2,... 15 1 64, 63,... 16 verwandeln. Dies giebt
das neue Schema:
58. 43. 60. 37. 52. 41. 62. 35
49. 46. 57. 42. 61. 36. 53. 40
44. 59. 48. 51. 38. 55. 34. 63
a.... 47. 50. 45. 56. 33. 64. 39. 54.. b
22. 9. 32. 15. 24. 3. 18. 1
31. 14. 23. 10. 19. 16. 27. 4
8. 21. 12. 29. 6. 25. 2. 17
13. 30. 7. 20. 11. 28. 5. 26