Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

158 Vierter Hauptteil.
c+1, c+2,. 64, 1, 2,.. a b, b+1,. c a+1, a+2,...-.
Derselbe setzt nur voraus, dafs b > a + 2 und c > b sei.
Ein aus dem Schema (M) sich ergebendes Beispiel liefert folgenden stets in sich zurückkehrenden Gang:
54, 55,... 64, 1, 2,... 19 34 35, 3 53 1 20, 21,...33.
Um das Schema zu bilden, welches denselben darstellt, mufs man in
dem Schema (M) erstens alle Zahlen von 54 bis 64 und von 1 bis 19
an ihrem Platze lassen, zweitens alle Zahlen von 34 bis 53 um 14
vermindern, drittens alle Zahlen von 20 bis 33 um 20 vermehren.
Das Ergebnis dieser Operation ist folgendes:
46. 7. 54. 27. 52. 49. 38. 29
55. 26. 47. 8. 39. 28. 41. 50
6. 45. 56. 53. 48. 51. 30. 37
57. 20. 25. 44. 9. 40. 15. 42
24. 5. 58. 19. 14. 43. 36. 31
21. 2. 23. 10. 61. 32. 13. 16
4. 59. 64. 33. 18. 11. 62. 35
1. 22. 3. 60. 63. 34. 17. 12.
Nach denselben Prinzipien würde man noch viele andere in sich
zurückkehrende Gänge erhalten. Daraus ist ersichtlich, wie sehr die
Anzahl der Lösungen vervielfältigt werden kann, sobald einmal ein
in sich zurückkehrender Gang bekannt ist.
482.
Man kann auch der Lösung besondere Bedingungen auferlegen, wodurch zwar die Anzahl der Lösungen verringert werden,
aber doch noch sehr beträchtlich sein wird. Nimmt man z. B. an,
dafs die Zahlen 1, 2, 3,... 32 die vier unteren Zeilen des Schemas,
und die 32 andern die vier oberen Zeilen ausfüllen sollen, so genügt
man der ersten Bedingung in folgender Weise:
3. 26. 7. 32. 1. 20. 15. 18
8. 31. 2. 27. 6. 17. 12. 21
25. 4. 29. 10. 23. 14. 19. 16
30. 9. 24. 5. 28. 11. 22. 13,
und wenn man zu allen diesen Zahlen 32 addiert, so erhält man
vier andere Zeilen, welche alle Zahlen von 33 bis 64 enthalten.