Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 18. Eine auf das Schachbrett sich beziehende Aufgabe. 157
24, 23,... 1, 64, 63,... 38 25, 26,. 37
62, 61,......46 63, 64, 6, 2,.- 45
24, 23,..1, 64, 63,... 54 25, 26,..* 53
33, 32,... 1, 64, 63,... 55 34, 35,... 54
10, 9,... 1, 64, 63,.. 60 11, 12,... 59
45, 44,... 1, 64, 63 46, 47,... 62.
Der erste Umlauf wird aus dem Schema (M) gebildet, indem man
von 68 alle Zahlen von 10 bis 58 abzieht und die andern Zahlen
ungeändert läfst; man erhält so das neue Schema:
42. 7. 14. 27. 36. 39. 16. 25
13. 28. 41. 8. 15. 26. 47. 38
6. 43. 12. 35. 40. 37. 24. 17
11. 34. 29. 44. 9. 48. 53. 46
30. 5. 10. 49. 54. 45. 18. 23
33. 2. 31. 58. 61. 22. 55. 52
4. 59. 64. 21. 50. 57. 62. 19
1. 32. 3. 60. 63. 20. 51. 56.
Bildet man ebenso die 10 andern Schemata, welche sich aus den
angegebenen Umläufen ergeben, so erhält man 12 Haupt-Schemata,
deren jedes vier Formen annehmen kann. Dies giebt im ganzen
48 Schemata, von denen jedes zwei Lösungen des allgemeinen Problems liefert.
481.
Um aus dem durch das Schema (M) dargestellten Umlauf elf
andere Umläufe derselben Art abzuleiten, haben wir nur nötig, den
ersten Umlauf in zwei Teile, welche sich in geeigneter Weise einander anpassen, zu zerlegen. Man könnte aber auch denselben Umlauf in drei oder mehr Teile derart zerlegen, dafs sie einen in sich
zurückkehrenden Umlauf bilden. Dies würde neue Lösungen in fast
unbeschränkter Anzahl ergeben.
Nehmen wir z. B. an, dafs, wenn man vom Felde a zum Felde b
und vom Felde a + 1 zum Felde c gelangt, man zu gleicher Zeit
auch vom Felde b - 1 auf das Feld c + 1 übergehen könne, was
wir folgendermafsen ausdrücken:
a { b, a+l {c c, b- { c+ 1,
so erhält man folgenden neuen aus drei Teilen bestehenden in sich
zurückkehrenden Gang: