Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 1. Satze bier die Potenzen der Zahlen. 3
Da nun p2 _= q2 + 2n2 ist, so mufs (No. 143) p von der Form
f2 + 21 2 sein. Der Gleichung
q2 + 2 n2 = (f" - 2qs)2
geniigt man aber, wenn man
q + n 1/- 2 = (f + g ]/ —2)2
setzt, wodurch man
q f - 2gf
n 2fg
erhtIlt, und zwar besitzt diese Lösung, wie man sich mittelst der
Formeln in No. 17 iberzeugen kann, jede nur wünschenswerte Allgemeinheit. Man hat also nur noch der Gleichung q2 + n2 = m2 zu
~Si area trianguli esset quadratus darentur duo quadrato-quadrati quoruml
differentia esset quadratus: Unde sequitur dari duo quadrata, quoruin et summa
et differentia esset quadratus. Datur itaque numerus compositus ex quadrato et
duplo quadrati aequalis quadrato, ea conditione ut quadrati eum componentes
faciant quadratum. Sed si numerus quadratus componitur ex quadrato et duplo
alterius quadrati, ejus latus similiter componitur ex quadrato et duplo quadrati,
ut facillime possumus demonstrare.
Unde concludetur latus illud esse summam laterum circa rectum trianguli
rectanguli et unum ex quadratis illud componentibus efficere basem et duplum
quadratum aequari perpendiculo.
Illud itaque triangulum rectangulum conficietur a duobus quadratis quorum
summa et differentia erunt quadrati. At isti duo quadrati minores probabuntur
primis quadratis suppositis quorum tam summa quam differentia faciunt quadratum. Ergo si dentur duo quadrata, quorum summa et differentia faciant
quadratum, dabitur in integris summa duorum quadratorum ejusdem naturae
priore minor. Eodem ratiocinio dabitur et minor ista inventa per viam prioris
et semper in infinitum minores invenientur numeri in integris idem praestantes
quod impossibile est, quia dato numero quovis integro non possunt dari infiniti
in integris illo minores." Fermat'sche Ausgabe des Diophant Seite 339.
Anm. d. Verf.
D. h. Wenn der Flacheninhalt eines Dreiecks eine Quadratzahl ist, so giebt
es zwei Biquadrate, deren Differenz eine Quadratzahl ist. Daraus folgt, dafs es
zwei Quadratzahlen giebt, deren Summe und Differenz ebenfalls Quadratzahlen
sind. Es giebt daher auch eine aus einem Quadrate und dem Doppelten eines
Quadrates zusammengesetzte Zahl, welche gleich einem Quadrate ist, wobei die
beiden jene Zahl bildenden Quadrate überdies die Bedingung erfüllen, dafs ihre
Summe eine Quadratzahl giebt. Wenn aber ein Quadrat gleich der Summe aus
einem Quadrat und dem Doppelten eines anderen Quadrates ist, so ist die Seite
desselben ebenfalls gleich der Summe aus einem Quadrat und dem Doppelten
eines andern Quadrates, wie sich leicht beweisen läfst.
Hieraus schliefst man, dafs jene Seite die Summe der Katheten eines recdht
winkligen Dreiecks ist, und zwar stellt das einzelne Quadrat, welches in deml1*