Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

156 Vierter Hauptteil.
18. 5. 26. 61. 20. 55. 24. 51
27. 60. 19. 54. 25. 52. 37. 56
4. 17. 6. 59. 62. 21. 50. 23
(M3) 7. 28. 3. 48. 53. 36. 57. 38
16. 47. 8. 63. 58. 49. 22. 35
29. 2. 31. 14. 33. 12. 39. 42
46. 15. 64. 9. 44. 41. 34. 11
1. 30. 45. 32. 13. 10. 43. 40.
Somit liefert jeder in sich zurückkehrende Gang, wie der, welcher
durch das Schema (M) dargestellt ist, drei andere durch die Schemata
(M1), (M,), (M3) dargestellte Umläufe, und da jedes Schema zwei
Lösungen des Problems giebt, so geben die vier Schemata deren
acht. Wir haben ferner noch zwei andere Schemata (VI) und (N)
von derselben Art wie das Schema (M) gebildet. Mithin kennen
wir bereits 24 Lösungen des allgemeinen Problems, und es wäre
leicht, eine noch viel gröfsere Anzahl zu finden.
480.
Es werde z. B. wiederum das Schema (M) genommen, und es
werde vorausgesetzt, dafs man von dem Felde A übergehen könne
zu den Feldern a, b, c... und von dem Felde A + 1 übergehen könne
zu den Feldern a', b', c'..., was wir folgendermafsen ausdrücken:
A { a, b, c,...
A + 1 { a', b', ',...
Findet sich unter den Zahlen a', b', c',... die Zahl a + 1, so kann
man aus dem durch das Schema gegebenen in sich zurückkehrenden
Gange einen andern, ebenfalls in sich zurückkehrenden, ableiten,
nämlich:
a, a -, a - 2,... A + 1 a +- l, a + 2,...A.
Jedoch ist der Fall a =- A +- und der Fall A a + 1, welche zu
keinem Resultate führen, auszunehmen.
So kann man aus dem Schema (M) die folgenden 11 in sich
zuriickkehrenden Gänge ableiten:
58, 57,.* 10 59, 60,...64, 1, 2, 3,.. 9
59, 58,..11 1 60, 61,. 64, 1, 2, 3,.. 10
53, 52,... 25 54, 55, 64, 1, 2, 3,...24
37, 36,..25 1 38, 39,..64, 1, 2, 3, *. 24
54, 53,..34 55, 56,... 64, 1, 2, 3,.. 33.