Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 18. Eine auf das Schachbrett sich beziehende Aufgabe. 155
Aber dieses zweite Schema, welches man als die Umkehrung
oder das Reciproke des ersten betrachten kann, giebt in Wirklichkeit
keine neue Lösung des Problems. Denn das Feld des Schachbretts,
welches im Schema (M) mit 20 bezeichnet ist, ist im Schema (m)
mit 66 - 20 oder 46 bezeichnet und die beiden Gänge, welche im
Schema (M) die Aufgabe lösen, unterscheiden sich von den beiden
Gängen, welche im Schema (m) die Lösung geben, nur insofern, als
sie durch verschiedene Zahlen bezeichnet sind. So geht z. B. der
durch 20, 21, 22,... 64, 1, 2, * * 19 im Schema (M) angedeutete
Umlauf nach und nach über dieselben Felder des Schachbretts, als
im Schema (m) der durch 46, 45, 44,.. 2, 1, 64, * 47 angedeutete Gang.
479.
Um jetzt wirkliche Änderungen im Schema (M) herbeizuführen,
mufs man annehmen, dafs dieses Schema, welches die Horizontalreihe 1. 36. 3... 12 zur Grundlinie hat, nach und nach jede der drei
andern Seiten das Schachbretts als Grundlinie erhält.
Nimmt man die Seite 12. 49. 16..43 zur Grundlinie, so mufs
man 11 von allen Zahlen abziehen, wodurch sich die Form ergiebt:
54. 57. 24. 27. 46. 59. 44. 15
25. 48. 55. 58. 23. 14. 29. 60
56. 53. 26. 47. 28. 45. 16. 43
49. 36. 63. 8. 13. 22. 61. 30
(M),52. 7. 50. 3. 62. 17. 42. 21
37. 64. 35. 12. 9. 20. 31. 18
6. 51. 2. 39. 4. 33. 10. 41
1. 38. 5. 34. 11. 40. 19. 32.
Die beiden andern Seiten geben in analoger Weise die beiden
folgenden Schemata:
34. 39. 6. 21. 18. 25. 58. 23
7. 20. 33. 40. 5. 22. 17. 26
38. 35. 4. 19. 32. 59. 24. 57
(1- 2) 3. 8. 45. 36. 41. 16. 27. 60
44. 37. 42. 31. 46. 61. 56. 15
9. 2. 53. 50. 55. 14. 47. 28
52. 43. 64. 11. 30. 49. 62. 13
1. 10. 51. 54. 63. 12. 29. 48.