Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

152 Vierter Hauptteil.
Felder 1 und 64 nur den Übergang zu zwei oder drei andern Feldern
gestatten. Nach einigen Versuchen findet man, dafs der folgende,
aus drei Teilen bestehende Umlauf
30, 31,. 46 1, 2, 3,. 29 | 64, 63,...47
den Vorzug verdient, weil die Endfelder 30 und 47 in die Mitte des
Schemas kommen, und daher mehr Aussicht vorhanden ist, dafs man
durch sie zu einem in sich zurückkehrenden Umlauf gelange.
Um diesen neuen Gang darzustellen, mufs man in dem gegebenen
Schema 29 von den Zahlen von 30 bis 46 abziehen, ferner 17 zu
den Zahlen der zweiten Reihe 1, 2,.. 29 addieren und schliefslich
alle Glieder der dritten Reihe 64, 63,... 47 von 111 subtrahieren.
Man erhält so das folgende Schema:
57. 12. 29. 42. 51. 54. 31. 40
28. 43. 56. 11. 30. 41. 62. 53
13. 58. 27. 50. 55. 52. 39. 32
26. 49. 44. 59. 10. 63. 2. 61
45. 14. 25. 64. 1. 60. 33. 38
48. 17. 46. 9. 22. 37. 6. 3
15. 24. 19. 36. 5. 8. 21. 34
18. 47. 16. 23. 20. 35. 4. 7.
Bei diesem Gange kann man von jedem der beiden Endfelder
1 und 64 zu acht andern Feldern übergehen, nämlich:
1 { 2, 6, 8, 36, 46, 44, 50, 52... a
64 { 63, 37, 5, 19, 17, 49, 27, 55... b.
Ist jetzt a eine Zahl der ersten Reihe, und findet man unter den
Gliedern b der zweiten Reihe die Zahl a- 1, so kann man einen
in sich zurückkehrenden Gang aus den folgenden beiden Teilen
bilden:
1, 2,.. a-1 1 64, 63,.. a.
Dies trifft nun zu, wenn man a 6 und a = 50 setzt, weil
sich 5 und 49 unter den Zahlen b vorfinden. Man erhält somit die
beiden folgenden in sich zurückkehrenden Umläufe:
1, 2,.. 5 1 64, 63,... 6
1, 2,.. 49 644, 63,.. 50.