Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 17. Einige Aufgaben der unbest. Analysis. 145
Wie man sieht, sind die Zahlen 2, 4, 7, für m gesetzt, von der
Art, dafs die daraus entstehenden Werte von c~,, y Primzahlen
sind. Dies giebt die drei Lösungen, welche in der Kolonne A und
in der Kolonne B enthalten sind. Jedoch giebt diese Tafel, bis zu
m = 15 fortgesetzt, keine Lösung weiter.
Um eine andere Auflösungsformel zu erhalten, kehren wir zu der
Gleichung
(a - 2m + 1)(l3 -- 2rn + ) = 22m
zurück. Dieselbe läfst sich allgemein in zwei andere zerlegen wie folgt:
c - 2" - +1 2+n-1 -f - 2M + 1 -= 2m+f',
und aus diesen ergiebt sich:
ac (2t' + 1)2n-I' - 1
= (2i^ + 1)2m - 1
= (2' + 1)222m- - 1.
Die Zahl g, welche in diesen Formeln willkürlich bleibt, mufs
ungerade sein, denn wäre sie gerade, so würde der Wert von y allgemein von der Form p' - 1 und somit keine Primzahl sein.
Wir hatten den Fall u = 1 bereits gehabt. Wir dürfen aber
nicht t =- 3 setzen, weil alsdann 2m + 1 = 9 wäre, und es somit
unter den Werten von a und ßf stets einen gäbe, welcher in der
Form p2 - 1, die nur einer zusammengesetzten Zahl zukommen kann,
enthalten wäre.
Es sei also -t = 5. Dann erhält man die Formeln:
33.2m-5- 1
= 33.2m --- 1
(33)2. 22-5- 1.
Setzt man n = 8, so ergiebt sich c = 263, = 8447, y 2230271;
jedoch folgt hieraus keine Lösung, weil y durch 463 teilbar ist.
Einige weitere Versuche in Bezug auf den Wert von m sind ebensowenig von Erfolg.
Setzt man endlich = 7, so erhält man die neuen Formeln:
- 129 2m-7 - 1
= 129.2 ^-1
y=(129)2. 2m-7 1.
Ist m = 8, so wird cc = 257, ß = 33023, y = 8520191. Hieraus
Iegendrc, Zahlentheorie II. 10