Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

144 Vierter Hauptteil.
Aufgabe erfordert, dafs die Summe der Teiler von A sowohl wie die
Summe der Teiler von B gleich A + B sei, so erhalten wir die
doppelte Gleichung:
(2+1 -- 1)(1 + y) (2S-i - 1)(1 + )(1 + ) = 2m(a)( + y).
Hieraus folgt zuerst:
1 + r (1 -+ )(l + ß),
oder:
ferner:
cß - (2m -- 1)(o + ß) =- 2?r+- _1.
Diese läfst sich auf die Form bringen:
(0 - 2m + 1) (ß - 2) + 1) = 22n
Hiernach scheint es, als ob jede Art, 22m in ungleiche Faktoren zu
zerlegen, eine Lösung geben miüfste.
Die erste Art der Zerlegung, welche sich darbietet, besteht darin,
dafs man setzt:
x- - 21+1 - -- 2m —1 cx.= 3.212l-1 1
p / 2m + 1- 2m+1. 3.2 _ 1
und hieraus folgt: y 9. 22mR-1 - 1
Damit jedoch diese Lösung zulassig sei, müssen die auf diese Weise
bestimmten Zahlen c, P, y Primzahlen sein. Giebt man m der Reihe
nach die Werte 2, 3, 4,..., so erhält man die in der nachstehenden
Tafel enthaltenen Werte:
m a ß y | A B
2 5 11 71 284 220
3 11 23 287
4 23 47 1151 18416 17296
5 47 95 4607
6 95 191 18431
7 191 383 73727 9437056 9363584
8 383 767 294911
9 767 1535 1179647
10 1535 3071 4718591I
11 3071 6143
12 6143 12287
13 12287 24575
14 24575 49151
15 49151 98303