Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

142 Vierter Hauptteil,
12
Ist n = 2, so wird die rechte Seite gleich -7 Setzt man also
1l+3 i+y 12 3
a = 7, so erhält man * =.8 - eine Gleichung,
(3p ly 8 2'
die unmöglich ist, weil die Nenner ß, y,'" ungerade sind.
r + 1+6 24 8
Ist n 3, so erhält man.. * Daraus
(3 ß 15 5
1 + s 4
ergiebt sich a =5 und * - mithin ist -/3 3, und
eine der gesuchten Zahlen ist 23.3.5 = 120.
Die Annahme n = 4 führt zu etwas Unmöglichem. Ist daher
1 + 1 +i+P 96 32
n-=5, so wird +. +... 9 Istalso6 3, =7,
" 6 63 I.7
l+y s2
so erhält man -.. 1. Mithin sind keine andern Primy 4.8
zahlen weiter anzuwenden als 3 und 7, und es ist die zweite der
gesuchten Zahlen gleich 25.3.7 = 672.
Da die Fälle n = 6 und n 7 zu keinem Resultate führen, so
o + a* i + P 768
sei n = 8. Dann ist - --... 768 Setzt man a 7,
a ( 7.73
i + r i -t. 1+768 48
p 73, so wird 1 + 7-. _7 - = 7. Isty =37,== 19
7 1 8.74 37
so ergiebt sich +- -. Hieraus folgt schliefslich = 5, und
die gesuchte Zahl ist N= 28- 5 7 19. 37 - 73. Dieses Resultat bestätigt man unmittelbar durch die allgemeine Formel, aus welcher
sich die Summe der Teiler gleich
(29- 1) 6 8 20. 38 74 = 28.3.5. 7.19. 37.73 = 3NT
ergiebt.
III. Um eine Zahl N von der Beschaffenheit zu erhalten, dafs
die Summe ihrer Teiler, N mit einbegriffen, viermal so grofs als
n ist, mufs man die Gleichung auflösen:
1 + -c t +ß 4 - 2n
eca ( 2n+l' 1
32 6 16
Ist n = 3, so ist die rechte Seite gleich -3 * Man
erhält daher zunächst a = 5. Wegen des Faktors 1 aber erkennt
man, dafs, wenn man / =3 setzt, der Faktor ß2 an die Stelle von /
trt Ma + 13 _____
tritt. Man mufs also - -9- an Stelle von nehmen und
16 13 16 16 14 8
setzen 9 13 Ist dann y 13, so setze man - -. -.
9 ü l l9 ö l~ _i-1