Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 17. Einige Aufgaben der unbest. Analysis. 141
unter den noch nicht gedruckten Manuskripten des Verfassers finden
könnte; denn wie man sieht, würde es sehr schwierig sein, sie wiederherzustellen
471.
Inl der Einleitung, Artikel X, haben wir gesehen, dafs, wenn eine
gegebene Zahl N die Form 2. ~ajy... besitzt, wo ~,, y,... ungleiche Primzahlen sind, die Summe der Teiler der Zahl N gegeben
ist durch die Formel:
(2~n+ - 1)(1 + )(+ +)(' + y)
Hätte man an Stelle des einfachen Faktors a den doppelten Faktor
a2, so würde dieser Faktor in der Formel anstatt durch 1 + a durch
1 + - + c a oder - 1 vertreten sein, ebenso würde bei dem Faktor
4 -1
a3 die Formel den Faktor 1 + a- + a2 +-4 a oder _ — enthalten,
u. s. w. Dasselbe findet Anwendung auf die andern Faktoren, die
auch nicht einfach zu sein brauchen. Wir geben im Folgenden
einige Anwendungen dieser Formel.
1. Hat man n so gewählt, dafs 2 - 1 eine Primzahl ist, und
setzt man:
N -=2n-1(2n- 1),
so ist die Summe der Teiler der Zahl N der vorher angegebenen
Formel zufolge gleich
2n(2n — 1);
mithin ist die Summe doppelt so grofs als die Zahl N, oder, was auf
dasselbe hinauskommt, die Zahl N ist gleich der Summe ihrer aliquoten
Teile. Die einfachsten derartigen Zahlen, denen man den Namen
"vollkommene Zahlen" beigelegt hat, sind:
22(23- 1) 28, 24(25-1)=496, 26(27 -1) 8128,
212(213 _ 1) == 212.8191 = 33550336 u. s. w.
II. Will man eine Zahl N von der Beschaffenheit haben, dafs
die Summe ihrer Teiler, N mit einbegriffen, dreimal so grofs als N
sei, und setzt man N- 21 * aßy..., wo a, ß, 7.. ungleiche Primzahlen sind, so mufs man der Gleichung
(2 + -1)(1 + )(1 + )(1 + y)... 3.2.y...
oder der Gleichung
+,a 1 + 1 +y 3.2
Genüge leisten.