Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 17. Einige Aufgaben der unbest. Analysis. 139
4 pt3 q- 2. -- + S =
die Gleichung vierten Grades, deren Wurzeln x, y, z, u sind; alsdann
bestimmt sich die gesuchte Zahl v rational durch die Formel:
4r+ 2p(s+ 1)
(S -1)2
469.
Um die Richtigkeit dieser nach Euler angegebenen Lösung
darzuthun, mufs man zeigen, dafs die Gröfse ev + 1, ohne dafs 5
specialisiert würde, ein Quadrat und somit die Gröfse
4re + 2p(s + 1) + (s- l)2
ebenfalls ein Quadrat ist. Nun giebt aber die Gleichung für r:
4r - 44 - 4p3 + 4q42 + 4s;
mithin reduciert sich Alles darauf, zu beweisen, dafs die Gröfse
4 4 - 4p3~4 + 4qe2 + 2p(s + 1) + (s + 1)2
für jeden Wert von t ein Quadrat ist.
Nun sieht muan, dafs diese Gröfse wirklich das Quadrat von
2 -2 -p- s - 1 darstellt, sobald die Bedingung
q +s 1= p2
erfüllt ist. Nachdem die Aufgabe bis auf diesen Punkt reduciert ist,
bilden wir die Gleichungen:
- = tn + 1 + z + 1U
q = +n -4- (m +- n)(s + u) + 4- su
p)2 - 4' ( n - 2 - 4n- -- 4zu
(21 + u)2 - 4(1 - 1) - 4z
4(s + 1) - 4mnz2tz + 4 - 4zt(12 - 1) + 4,
mithin:
p - 4q --- 4(s + 1) - u(z + 41 - 4sz1).
Andrerseits sieht mar leicht, dafs u= 412 - 41 ist und dafs somit,
da die rechte Seite der letzten Gleichung verschwindet, die in Frage
kommende Bedingung erfüllt ist.
Jetzt hat man nur noch die vier Werte von in die allgemeine
Formel
v4 + 1 - (_2 - s R — )
zu substituieren, wodurch man die vier folgenden Resultate erhält: