Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

Vierter Hauptteil.
Verschiedene Methoden und Unltersuchlngen.. 1.
Sätze über die Potenzen der Zahlen.
Die Methode, von der wir sogleich verschiedene Anwendungen
geben werden, verdient eine besondere Beachtung, insofern sie bis
heute die einzige ist, vermittelst welcher man gewisse negative Sätze
iiber die Potenzen der Zahlen hat beweisen können. Diese Methode
geht darauf aus zu zeigen, dafs, wenn die Eigenschaft, deren Bestehen
verneint wird, bei grofsen Zahlen stattfände, dieselbe bei den kleineren
Zahlen ebenfalls gelten würde. Ist dieser erste Punkt festgestellt, so
ist der Satz bewiesen; denn wenn das Gegenteil stattfinden sollte, so
miiste eine Reihe von abnehmenden ganzen Zahlen ins Unendliche
verlängert werden können, was einen Widerspruch enthält. Fermat
hat zuerst diese Methode in einer seiner Anmerkungen zum Diophant
angegeben, in der er beweist, dafs der Flächeninhalt eines in ganzen
Zahlen ausgedrückten rechtwinkligen Dreiecks*) keiner Quadratzahl
gleich sein kann. E uler hat sodann weitere Anwendungen von
dieser Methode und eine sehr klare Auseinandersetzung derselben
gegeben im zweiten Teile seiner ~Elemente der Algebra".
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Satz 1. Der Flächeninhalt eines in ganzen Zahlen. ausgcedlrüiikteni rechtwinkligen I)reiecks kann keiner Quadratzahl gleich sein.
*) Drei Zahlen von der Beschaffenheit, dafs das Quadrat der gröfsten von
ihnen gleich der Summe der Quadrate der beiden andern ist, nennt man ein
rechtwinkliges Dreieck. Als Beispiel kann man die Zahlen 3, 4, 5, die Zahlen
5, 12, 13 und unendlich viele andere anführen. Anm. d. Verf.
L e e n d r e, Zahletheorie II. 1