Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

136 Vierter Hauptteil.
Will man, dafs die Funktionen X und Y keinen gemeinschaftlichen
Teiler haben, so kann man u = —, x = (u2 - b) z setzen, und genügt sodann der Gleichung
X3 + aX2Y+ bXY2 + cyY3 = V2
durch die Werte:
X= y4 - 2by 2s + 8cy z3 + (b2 - 4 ac) z
Y -- 4z(y3 - ayz +- byzs - cz3)
V =yf - 2ay5z + 5byl4' - 20cyZ3 - (5b2 - 20ac) y2.Z
- (8a2c - 2ab2 - 4bc)yz5 - (bS - 4abc + 8c2)z6.
Dies sind die Formeln, welche sich aus der Annahme Z= 0 ergeben.
Die Annahmen X = 0, Y 0 wiirden zu ähn]ichen Formeln führen,
vermittelst deren die Gleichungen
c Y + ac Y2Z + bc YZ2 + c2Z3 = 72
X3 + (a2 - 21) XZ + (b2 - 2ac) XZ2 + c2Z'= V2
allgenlein gelöst würden.
466.
Betrachten wir jetzt die Gleichung vierten Grades
21 - ap3 + bp2 - cp + d = 0,
deren Wurzeln a, ß, y, 6 seien, und bilden wir mit Hülfe dieser
Wurzeln die vier Polynome:
x + ay + a2, +- + a3u
X + ßy + ß2"Z + ß'l
x + yy + -2Z + 7r3
x -+ y + 62Z + d3u,
so ist das Produkt dieser vier Polynome eine symmetrische Funktion
der Wurzeln a, /3,, 6; denn es bleibt dieses Produkt offenbar ungeändert, wenn man diese Wurzeln irgendwie mit einander vertauscht.
Diese Funktion ist somit ein in Bezug auf x, y, z, u homogenes
Polynom vierten Grades, dessen Koefficienten sich durch die gegebenen
Gröfsen a, b, c, d ausdrücken lassen, wenn man die bekannten Formeln zur Bestimmung einer symmetrischen Funktion der Wurzeln
einer gegebenen Gleichung anwendet.
Da jedoch die grofse Menge der Glieder, aus denen ein solches
Produkt besteht, einige Schwierigkeiten bei der Bestimmung der
Koefficienten bereiten könnte, so kann man annehnmen, dafs der