Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 16. Produkte aus ähnlichen Funktionen. 135
Man kann nämlich mittelst verschiedener bekannter Methoden
direkt die Gröfsen X, Y, Z derart bestimmen, dafs man hat:
(X + aCy + C2Z)n = X + aY + ~2Z.
Dazu hat man nur die linke Seite nach Potenzen von a zu entwickeln
und an Stelle der Potenzen, welche höher sind als a2, ihre vermittelst
der Gleichung a3 = a a2- ba + c reducierten Werte zu substituieren.
Hierdurch wird die Gröfse f'(x, y, z), welche die nzt Potenz der
Funktion ((x, y, z) bezeichnet, ausgedrückt durch ~ (X, Y, Z).
465.
Im Falle n -2 findet man unmittelbar mit Hülfe der Formeln
des Artikel 463, wenn man darin x1 = x, y -= y, zi = z setzt:
X = x2 + 2cyz + acz2
Y= 2xy - 2byz - (ab - c) 2
Z 2xz + y2 + 2ayz + (a2 - b) z2
Diese Werte genügen der Gleichung
2 (X, y, ) -= (X, y, Z),
welches auch die drei Unbestimmten x, y, z sein mögen.
Stellt man zwischen diesen drei Unbestimmten die Beziehung
0 = 2xz + y2 + 2ayz + (a2 - b)z2
fest, wodurch sich Z= 0 ergiebt, so reduciert sich <X(X, Y, Z) auf
X3 + aX2Y + bXY2 + c3,
woraus folgt, dafs die Gleichung
X3 +aX2Y+ bXY2 + cY3 - V2
sich allgemein auflösen läfst. Denn nimmt man die Unbestimmten derart an, dafs die Bedingungsgleichung Z = 0 erfüllt ist,
so sind die für X und Y sich ergebenden Werte von solcher Beschaffenheit, dafs man gleichzeitig V = Q)(x, y, Z) hat.
Setzt man zu dem Zwecke y = (u - a)z, wodurch sich
2x 2x(u — a)
X b _ UL2 b - y2
b -- b u2 b - u2
ergiebt, so erhält man die Lösung:
4: X2
x_ (b 2)2 (u4 - 2b 2 + Scu + b2 - 4ac)
Y= (b- 2)( (U3 - au2 + bu - c)
a - b — 1 6 + 2au5 - 5bu4 + 20ct3 + (5b2 - 20Cac)
(b-2)3+ (8a2c - 2ab2 - 4bc)u + b3- 4abc + 8c2 J