Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

134 Vierter Hauptteil.
463.
Nehmen wir nämlich an, dafs man die vorige Funktioin ((x, y, z)
mit einer ähnlichen Funktion P (x1 yl, ), in welcher die Konstanten
a, b, c dieselben sind, multiplicieren solle, so reduciert sich diese
Aufgabe darauf, das Produkt der sechs Faktoren zu bilden:
x + ay + y a2, x + y + P2, x + yy + y2
i + ay1 + a"2Z1 x1+ ß3 + P2Z, x + y1 + 72Y1
Multipliciert man nun zunächst x + ay + a2z mnit x, + a~l + ca2z
und setzt dann in dem Produkte an Stelle von a3 und a4 ihre Werte:
3 = aa2 - a +- c, a4 == (a2 - b) a2 - (ab - c) a + ac,
so wird dieses Produkt ausgedrückt durch X-+ a Y- + aZ, wenn
man setzt:
X xxZ +- c (yz1 + zy1) + aczz,
Y-= xy + lyx, - b (/yz + Zy1) - (ab - c) Z1
Z = xz + x1, + yy a +, 1- zy) + (a2 - b) S1.
Man sieht also, dafs das Produkt der beiden gegebenen Funktionen
)(x',, y z, ) (xl, yi, z) gleich ist delm Produkte der drei Faktoren:
(X + a Y + a2Z) (X + p Y + ß2Z) (X + y Y+ y7Z)
und somit gleich der durch 4)(X, Y, Z) bezeichneten Funktion, welche
lautet:
X3 + aX2 Y+ (a2 - 2b)X2Z+ bX Y2 (ab - 3c) XYZ
+ (b2 - 2ac) XZ2 + c Y3 + ac Y"Z + bc YZ2 + c2Z3.
464.
Nehmen wir nun an, dafs dieses Produkt mit einer dritten, den
beiden andern ähnlichen Funktion 4 (x, y2, Z2) multipliciert werden
solle, so mufs man offenbar setzen:
X = Xx2 + c ( Y2 + Zy2) + acZz,
Y, Xy + Yx, - b (YZ2 + Zy,) - (ab - c) Z2
Z, Xz2 + Zx, + Yy2 a ( + (Y ) + (a -- b) Zz,
und das Produkt der Funktionen, um die es sich handelt, wird ausgedrückt durch die ähnliche Funktion Q((X1, Y, Z1).
Ebenso verhält es sich bei einer beliebigen Anzahl von Funktioien und somit bei einer beliebigen Potenz derselben Funktion. In
diesem letzteren Falle kann man zum Resultate jedoch durch ein
einfacheres Verfahren, als das der successiven Multiplikation ist, gelangen.