Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 16. Produkte aus ähnlichen Funktionen. 133
oder
x -+ aY+ Y/ -b (x+ ay + y - -b)
bedienen. Aus dieser erhält man:
Y -
/ x l \n-l ( 1) (n - x2) / 7-3 1 (a2 _-,
n X + 2 a)Y+ 24- -) —3( V + <^2 )+Y. 4
X+ aY=
+ y)+ $ ayf+. — ) (+ - ay) 2y a2 b) - _...
Auf diese Weise kennt man allgemein die beiden Funktionen X und Y
für jeden Wert von n.
462.
Nehmen wir jetzt an, dafs a, 1, y die drei Wurzeln der
Gleichung
p3- a2 _{- bp C- = 0
seien, und entwickeln wir das Produkt der drei Faktoren:
(x + ay + ~2z) (x + ßy + 3P2z) (X + yy + yz),
so finden wir den folgenden Ausdruck:
x3 + (O + ß + 7) Xy + (a2 + p2 + 72) X2 + (aß + -, + ß- )xy2
+ (~21 + y27 + r2"~ + a2y + j2~ + y2P) xyz
+ (a2P2 + ß32r2 + y2~2)xz2 +?py?3 + (~2py + 2y~a + a2~P) y2z
+ (~2132y + ß2y2~ + y2a'2ß) yz2 + ß2p2y2z3.
In diesem Ausdrucke sind sämtliche Koefficienten symmetrische Funktionen der Wurzeln ~, ß, y; sie können somit durch die Koefficienten
der Gleichung in p ausgedrückt werden. Das in Rede stehende Produkt reduciert sich also auf eine vollkommen rationale Funktion,
nämlich:
Xs + ax2y + (a2 - 2b) x2 + bxy2 + (ab - 3c) xyz + (2 - 2ac) x2
+ cY3 + acy2z + bcyz2 + c2z3,
und diese Funktion, welche wir mit ((x, y, z) bezeichnen,
besitzt die Eigenschaft, dafs, wenn man mehrere solche
Funktionen, in denen die Gröfsen a, b, c dieselben bleiben,
mit einander multipliciert, das Produkt stets eine Funktion
von derselben Form ist.