Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

132 Vierter Hauptteil.
460.
Multipliciert mani niämlich zuerst x + ay mit x1 + ßyl, so wird
das Produkt gleich xxl + ayxl +- jxy1 + ßyy1, oder, wenn man
die Werte ß a - a, aß -= b einsetzt:
xx1 + axyl + byyl- + a(yxl - xyl).
Somit kann man X und Y die Werte geben:
X-= xx + axy1 + byy1
Y= yx - xy1,
und das gesuchte Produkt wird ebenfalls dargestellt durch:
X2 + aXY+ bY2.
Daraus, dafs das Produkt zweier Faktoren von der Form
x2 + axy +- by2
auf zwei verschiedene Arten auf die gleiche Form
X2 + aXY+ bY2
gebracht werden kann, folgt, dafs das Produkt dreier Faktoren wie
x2 + axy + by2, x,1 + ax,yl + by2, x22 + ax2y2 + by22
sich auf vier verschiedene Arten auf diese Form bringen läfst, dafs
das Produkt von vier Faktoren achtmal von derselben Form ist u. s. w.
Hat man allgemein n Faktoren von der Form
x2 + axy + by2,
so ist ihr Produkt 2n-l-mal von derselben Form.
461.
Wenn die in Rede stehenden n Faktoren einander gleich
sind, so erhält man auf ebensoviele Arten:
(x2 + axy + by2)n) = X2 + aXY+ b 2.
Aber diese Gleichung hat nur eine Lösung, wenn man will, dafs
die unbestimmten Gröfsen X und Y keinen gemeinschaftlichen Faktor
haben.
Um diese Lösung direkt zu finden, kann man sich der Gleichung
X + aY —(x + aZy)n