Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 16. Produkte aus ähnlichen Funktionen. 131
Sind a und f die beiden Wurzeln der Gleichung zweiten
Grades:
p2 - ap - b = 0,
so kann man die Formel zweiten Grades
x2 + axy + by2
als das Produkt der beiden Faktoren
(x + ay) (x + ßy)
betrachten, da man +- ß= a, aß = b hat. Ebenso stellt die Formel
x12 + ax1y1 + b l2,
welche in ähnlicher Weise aus zwei andern Veränderlichen xi, yi
gebildet ist, das Produkt der beiden einfachen Faktoren
(X1 + Y1) (X1 + ß-yl)
dar.
Will man jetzt diese beiden Formeln mit einander multiplicieren,
so nehme man zunächst das Produkt der beiden Faktoren
(x + ay) (x, + ~ y).
Dasselbe ist:
xx1 + a(xyl + yx1) + a2yy1,
oder, wenn man aa - b an Stelle von a2 setzt:
xxt -- byyl + a (xy + yx1 + ayyl).
Setzt man zur Abkürzung:
X = xx - byyl
Y= xyl + yxl + ayyl,
so erhält man:
(x + ay) (x, + ay1) = X + a Y.
Aus demselben Grunde hat man, wenn man fß für a setzt:
(X +- ßy) (X1 + PY1) X + p Y
Multipliciert man diese beiden Gleichungen mit einander, so ist die
linke Seite das Produkt der beiden gegebenen Polynome und die
rechte verwandelt sich in X2 + aX Y +- b 2. Hieraus erkennt man,
dafs das Produkt der beiden ähnlichen Funktionen
x2 + axy +- by2, x12 + axlyl + by12
dargestellt wird durch eine Funktion derselben Art, nämlich:
X2 + aXY- bY2.
Man kann jedoch das Produkt der beiden gegebenen Polynome
noch auf eine zweite Art bilden.
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