Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 15. Entwicklung des unendlichen Produkts (1 - x)(1 -x2) (1 - 3).. 129
457.
Was das Gesetz der Exponenten dieses Produkts angeht,
so ist dasselbe leicht zu finden. Denn da alle Vertikalkolonnen arithmetische Progressionen sind, so erhält man, wenn man mit k die
Zahl aus der natürlichen Zahlenreihe, welche die Ordnung einer
Kolonne angiebt, bezeichnet, für das letzte Glied dieser Kolonne
1 1
t- (7k+ 1) +7c2 oder t (37-J2 + ), und für das vorletzte Glied
2 1 (/7 + 1) + k ( -- 1) oder 1 (3k2 - k). Mithin besitzt die Reihe
2 ~
der Exponenten 2, 7, 15, 26, 40, 57,... das allgemeine Glied
(3k2 + 7c) und die Reihe der Exponenten 1, 5, 12, 22, 35, 51,.
das allgemeine Glied (32 - ); folglich kann das gesuchte Produkt X nur solche Potenzen von x enthalten, welche sich durch
(3kg2 I;E k
x2 (, wo k7 eine ganze Zahl ist, darstellen lassen. Diese Potenzen
haben den Koefficienten + 1, wenn k gerade ist, und - 1, wenn k
ungerade ist.
Die Reihe 1, 5, 12, 22, 35,..., deren allgemeines Glied (372 - 1)
lautet, ist eigentlich die der Pentagonalzahlen (siehe oben No. 156);
jedoch gehört die andere Reihe 2, 7, 15, 26, 40,... ebenfalls zu
denselben Zahlen. Man erhält sie nämlich, wenn man k die Werte
- l, - 2, - 3,... beilegt, d. h. das Zeichen von k ändert. In der
That bilden die beiden Reihen nur eine einzige, welche aus demselben allgemeinen Gliede 2(3k72 - ) abgeleitet wird, wie man im
Folgenden sieht:
k. - 4, - 3, - 2, -,,, 2, 3, 4,...
Pentagonalzahlen: 26, 15, 7, 2, 0, 1 5, 12, 22, *
Ist Nx" ein beliebiges Glied, welches in der Entwicklung des
Produkts mehrerer Faktoren 1 - x, 1 - x, 1 - x,..., die in
endlicher oder unendlicher Anzahl vorhanden sein können, vorkommt,
so stellt der Koefficient N allgemein die Differenz zwischen der Zahl
dar, welche angiebt, wie oft sich die Zahl n durch Addition einer
geraden Anzahl der Exponenten a, ß, y,. bilden läfst, und der
Zahl, welche angiebt, wie oft die Zahl n durch Addition einer ungeraden Anzahl dieser Exponenten entstehen kann.
Legendre, Zahlentheorie II. 9