Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 15. Entwicklung des unendlichen Produkts (1 - x) (1 -- x2) (1 - x)... - 127
ponenten 2, 5, 9, 14,... befolgen, werfen wir einen Blick auf das
unten folgende Schema, in welchem dasselbe klar hervortritt.
Die erste Horizontalreihe ist die der natürlichen Zahlen, die
zweite ist die Reihe der Trigonalzahlen oder der Exponenten der
Zähler in der ersten Reihe (A). Addiert man zu jeder Trigonalzahl
die darüberstehende Zahl der natürlichen Zahlenreihe, so erhält man
die Reihe 2, 5, 9, 14, 20,..., also die Reihe der Exponenten von x
in der Reihe (B), wenn man davon das erste Glied - x ausnimmt,
dessen Exponent 1 in der Tafel unmittelbar über 2, anstatt neben 2
wie in der Reihe (B) steht.
Nachdem dies vorausgeschickt ist, sehen wir, dafs der Faktor
1 - x aus den verschiedenen Nennern verschwunden ist. Entfernen
wir ebenso den Faktor 1 - x2, so geschieht dies, indem wir setzen:
1X r 1-X7
-X2 x _-_
X9 X9 X12
(1 - x2) ( - x3) 1 - - (x) (1 - x3)
X 14 x14 X18
(1 -- X2) (l - X3) (l - X4) (l - X2) (l - X3) (1 - X2) (1 X3) (l - X4)
U. S. W.
Hierdurch geht die Reihe (B), wenn man den ganzen Teil - x - x
wegläfst, über in:
X7 X12 X's
- 1 - X2 (1 - x2) (1 - x~) (l - x2) (1 - x3) (1 - x4)
X x14 x20
-_ 2+ _ __
1-x2 ( - x) (1 - x3) (l - X'-) x3) (1 - ( X3) (1 —x4)
oder, wenn man vereinfacht,
(C) x - x
(G) x5 + x7 l_ x - 3
(i- x~ + (1 - x3) (( - xr)
(1-x3) ( 1 -x4)(1- X5)
Die Exponenten 5, 7, 12, 18, 25,..., welche mit Ausnahme des
ersten 5 die Reihe (C) der Tafel bilden, ergeben sich aus den vorhergehenden 5, 9, 14, 20,..., indem man zu letzteren die senkrecht
darüberstehenden Zahlen der natürlichen Zahlenreihe addiert. Was
den Exponenten 5 der Reihe C anlangt, so steht derselbe in der
Tafel unmittelbar über 7, gleich als ob er zur vorhergehenden Reihe
(B) gehörte.
Trennen wir den ganzen Teil x5 + x7 von der Reihe (C)' ab,
und geben wir dem übrigbleibenden Teile die Form: