Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

126 Vierter Hauptteil.
Qx 6X
I - x3 (1 -.) (1 x2)- ( - x3), l RX4 10o
1 t —x (1t = — T'^X () (1-l)( - -3) (1-x4)
U. S. W.
Ist = - 1, so wird das gegebene Produkt
(1 - - -x 2) X )..
welches wir X nennen wollen, ausgedrückt durch die Reihe:
X X3 X6
(A) 1 + --
1 — x- (-x) (1 x2) (1 — x) (1 - x3);10
-( -- x) (1 - x- (1 -- - )....)
und zwar sieht man, dafs die Zähler die Trigonalzahlen 1, 3, 6, 10,
15,... zu Exponenten haben. Wir wollen jetzt zeigen, wie
man aus den Nennern der Reihe nach die Faktoren 1 x,
1 - x2, 1 - X3,... wegschaffen kann.
456.
Hierzu verwandeln wir jedes Glied der Reihe in zwei andere,
nämlich:
x,?~"
x. x xx
x) — x), - X)
''. X3.3 X'
(1 x) ( -) 1 x (i -- x i- -
X6. X6 x9
(1l - X)(1 - X) (1 - X2 ) ( -- - ) (1- ) (1- ) ( x ) (l _;3)
U. S. W.
Hierdurch geht die Reihe (A), wenn man das erste Glied 1 bei Seite
lafst, über in:
X2 X5 9
X3 x6 x10
I T- (1x) ( — ') (1 - x) (1 - x2) ( 1- x3)
oder, wenn man reduciert:
x5 X
(B) x - X 2 - ______,_
(B) e w Xl it 1dxs (1 -x2)(1- 3)
D, 14
(1 — x s) (1 - 3) (1-X4)
Da es wesentlich ist, clas Gesetz zu bemerken, welches die Ex