Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 15. Entwicklung des unendlichen Produkts (1 - x) (1 - x2) (1 - x3).. 125
Man kann auch einen andern Weg einschlagen, um zu bewirken,
dafs die Gröfse 1 + 16(p + 20p2 + 83 -[+ T4 gleich einer Quadratzahl werde. Stellen wir dieses Quadrat durch (1 + mcp + n9p2)2 dar,
so erhalten wir, wenn wir diese Gröfsen gleichsetzen und entwickeln:
0 2m(p + 2nSp2 + 2rmn p3 + n2p4
-16p - 20i2- 893- 9P4
m+ mcp22
Setzt man:
16- 2m 8- 2mn
(P =2 2n+ m- 20 n2- I
so erhält man zwischen m und n die Gleichung:
(8 + m)n2 + (m3 - 20m - 8)n - 4m2 + m + 72 = 0.
Um nun einen rationalen Wert von n zu erhalten, setzen wir
8 121
m= - 8; dadurch ergiebt sich n -1, ( = 61= und dies ist
die zweite der beiden, mittelst der andern Methode gefundenen,
Lösungen.
~ 15.
Entwicklung des ins Unendliche fortgesetzten Produkts:
(1 - x) ( - x) (1 - )....
455.
Wir betrachten allgemeiner das Produkt:
(1 + xz)(1 + x2 ) (1 + X3) (1 + X4 )...
und nehmen an, dafs dieses Produkt, nach Potenzen von z entwickelt, die Reihe ergebe:
1 + Pz +- Q2 + R3 +....
Setzt man xz an die Stelle von z, so erhält man:
(1 + x"2) (1 + x3z) (1 + x4z)... 1 + -Pxz + Qx22 +..,
und somit:
1 + Pz + Qz2 + Rz3 + *. *. (1 + xz) (1 + Pxz + Qx2z +*..).
Entwickelt man die rechte Seite, und setzt darauf die Koefficienten
gleicher Potenzen von z einander gleich, so ergiebt sich:
_ x
p1 -1 - x
1Px2 X)
Q= 1-x~- ~= (1-x)(1 —x2)