Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

124 Vierter Hauptteil.
Es würde leicht sein, aus diesen noch mehrere andere zu finden,
jedoch würden dieselben wahrscheinlich komplicierter sein, obwohl
die von uns angewandte Methode nicht besagt, dafs die gefundenen
Zahlen die kleinsten seien, welche der Aufgabe genügen.
454.
Es sei ferner die Aufgabe gestellt, drei ungleiche Quadratzahlen x2, y2, s2 von der Beschaffenheit zu finden, dafs
die drei Formeln
x2 + y2 -_ 2. 2 z2 -y2, 2 y+ 2 x2
Quadratzahlen darstellen.
Man findet leicht, dafs die ersten beiden Bedingungen erfüllt
werden, wenn man setzt:
x r'2 + S2
y = r2 + rs - s2
Z - r2 rs 2.
Man hat also nur noch die dritte Bedingung zu befriedigen, und
diese geht durch die Substitution dieser Werte über in:
r4 - 4r2s2 + - 4 = einer Quadratzahl.
Ist r =- =s, so reduciert sich die Aufgabe darauf, zu bewirken, dafs
4 _ 4 2 + 1
eine Quadratzahl werde. Man könnte - = 0 oder - = 2 setzen,
jedoch würde sich hieraus keine passende Lösung ergeben. Um andere
Werte zu erhalten, sei = 2 4- 9p; dadurch erhält man:
1 1- 16 p + 20 (p + 8p3 + q4 = einer Quadratzahl.
Setzen wir diese Gröfse gleich (1 + 8p +- acp2)2 und nehmen wir
23 15
sodann a== 1 so finden wir qp --, mithin —, r==15,
s =-4, und hieraus folgt die nachstehende Lösung:
x 241, y =269, z 149.
Dies sind wahrscheinlich die kleinsten Werte, welche der Aufgabe
genügen. Man hätte auch a = - 22 setzen können, wodurch man
120 442
1p = -1i ' =a 1, oder r = 442, s== 161 erhalten hätte. Hieraus
aber würden sich Werte ergeben, die weit beträchtlicher sind, als
die vorhergehenden.