Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 14. 1Rationale Auflösung der Gleichung y1 = a + bx + * * + ex4. 123
setzen und erhält:
x2 + y2 + 2z2 = 4x2 + 4() + + q) + 4(p12 + 2q2).
Setzen wir diese Gröfse gleich 4(x + f)2, so folgt daraus:
p2 + 2q2 - -2
X --
2f- - 2q
Die zweite Formel giebt analog:
q2 + 2p- g2
2g-q-2p 7
und um diese beiden Werte in Ubereinstimmung zu bringen, setzen wir:
p2 + 2q2- f2= _ q2 + 22p g2
2f- p - 2q=2g - q - 2p.
Hieraus erhalten wir rationale Werte von f und g, nämlich:
1
f- i (5q +3p), g- = (5p+3q),
und vermöge dieser geht der Wert von x über in:
7p2 - 30pq-+ 7q2
8 (p1 + q)
Dieser Wert genügt bereits den beiden ersten Bedingungen. Ferner
erhält man die entsprechenden Werte von y und z durch die Formeln:
y = x + 2p, z = x + — 2q,
so dafs man, nach Unterdrückung des gemeinsamen Nenners, setzen
kann:
h all 1:
x = 7p2 -301pq + 7q2
y = 23p12 14pq +- 7q2
z= 7_p2 - 14pq + 23q2.
Substituiert man diese Werte in die Formel y2 + Z2 2x2 und setzt
man - == 1 + -, so hat man noch der Bedingung zu genügen:
1 +4 2ü 9- 2,92 +,3 + 169 ü4 = einer Quadratzall.
Nun findet man ohne weiteres f== 0, oder = - 1, oder - -2;
jedoch ergiebt sich hieraus keine Lösung. Ist also, der vorstehenden
Methode gemäfs,
1 + 2 + 22 + =3 + 169 - (i + 3 + 16-2) 2
und entwickelt man diese Gleichung, so erhält man, wenn man
8
a = i setzt, 9 = 208, demnach -p = 209, q = 1, und hierdurch
ergiebt sich die folgende Lösung:
z = 1871 y 629, y 62609, 18929.