Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

122 Vierter Hauptteil.
gehört, so kann man von jedem der beiden angegebenen Hülfsmittel
Gebrauch machen. Man kann auch sogleich
y -f + gx + IhX
setzen, und dies giebt, wenn man einsetzt, entwickelt und die möglichen Vereinfachungen vornimmt:
0 = 2fgx + 2fhx2 + 2ghx3
-bx - Cx2 dx
Dieser Gleichung kann man aber auf zwei. verschiedene Arten geb
nügen, einmal, indem man g = f- setzt, wodurch sich
c -- g- 2f7h
+ 2gh - d
ergiebt, das andere Mal, indem man g + -- d setzt, wodurch man
2 _ fg —b
c - g2 T 2fh
erhält.
4) Hat man eine durch x = m bezeichnete Lösung, so setze man
x = m + x'; dadurch wird die Gleichung auf den ersten Fall zurückgeführt.
Wir könnten eine grofse Zahl von Anwendungen dieser Methode
hinzufügen, die sich aus Problemen der unbestimmten Analysis ergeben, deren Lösung von Euler in mehreren von seinen Abhandlungen und im zweiten Bande seiner Algebra angegeben worden ist.
Wir beschränken uns jedoch auf ein oder zwei Beispiele dieser Art,
um eine Vorstellung von diesem Zweige der Analysis zu geben. Derselbe erfordert grofsen Scharfsinn bei der Wahl der zur Lösung
führenden Hülfsmittel, steht jedoch als zu speciell nur in einer entfernten Beziehung zu unserm Gegenstande.
453.
Wir stellen uns die Aufgabe, drei Zahlen x, y, S von
der Beschaffenheit zu finden, dafs die drei Formeln
x y2+ 2z2, x -2+z + 2y, y2 z + 2x2
Quadratzahlen darstellen.
Da man voraussetzen kann, dafs diese Zahlen keinen gemeinschaftlichen Teiler haben, so ist leicht zu sehen, dafs sie alle drei
ungerade sein müssen. Man kann daher
y = x + 2p, z = x -- 2q