Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 14. Rationale Auflösung der Gleichung y2 = a + bx + + - ex". 121
Da hierdurch die Gleichung auf die beiden einzigen Glieder, welche
x3 und x4 enthalten, reduciert ist, so folgt daraus ein rationaler Wert
von x, nämlich:
2gh -d
X —
e - h1
Dieser Wert giebt somit eine neue Lösung der gegebenen Gleichung
in rationalen Zahlen, wofern nicht 2gh = d oder e = h ist.
Bezeichnet man die zweite Lösung durch x = n, und setzt man
allgemein x rn + x', so geht die rechte Seite, nach Einsetzung
dieses Wertes in die gegebene Gleichung, über in
a' +- b'x' + 'x'2 + d'X'3 + e'X'4
in welcher a' ebenfalls ein positives Quadrat ist. Man kann also in
derselben Weise verfahren, um einen neuen Wert von x' zu erhalten,
und so fort ins Unendliche. Hieraus sieht man, dafs ein erster bekannter Wert von x genügt, um unendlich viele andere zu finden,
abgesehen von einigen besonderen Fällen, die fast nur eintreten
können, wenn es absolut unmöglich ist, der gegebenen Gleichung
anders als durch die zuerst gegebenen Werte zu genügen.
2) Ist der Koefficient e des Gliedes ex4 gleich einer positiven
Quadratzahl h2, so setze man:
a + bx + CX2 + dx3 + ex4 - (f + gx + 1hx)2.
Dies giebt, wenn man entwickelt und vereinfacht:
0 = f2 + 2fgx + 2fhx2 + 2ghX3
-C - bx- CX2 - dx3
+ g2x2.
Jetzt kann man die Glieder mit x' und x3 zum Verschwinden bringen,
wenn man setzt:
d c - g2
g 2h, f=- 2
Alsdann reduciert sich die Gleichung auf eine Gleichung ersten Grades
und diese giebt:
a - f2
x ~2f'g- b
Diese Lösung liefert sodann, wie im vorhergehenden Falle, unendlich
viele Lösungen; jedoch darf 2f - b nicht gleich Null sein.
3) Ist die gegebene Gleichung von der Form:
2 =- f +- bx + cx' + dx3 + h2X',
so dafs sie zu gleicher Zeit zu den beiden vorhergehenden Fällen