Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

120 Vierter Hauptteil.
ist, wie weiter unten (im sechsten Hauptteil) gezeigt werden wird,
stets eine gerade durch n2 teilbare Zahl.
2) Der Koefficient q, welcher gleich xy +- y +- zx ist, ist stets
eine ungerade, mit entgegengesetztem Vorzeichen' wie p behaftete
Zahl, welche weder mit p noch mit r einen gemeinsamen Teiler hat.
3) r ist eine gerade Zahl von entgegengesetztem Vorzeichen wie
p und teilbar durch n2.
Man kann in allen Fällen p =-1 setzen und sodann q und r als
rationale Gröfsen betrachten, die man durch diese beiden Gleichungen
bestimmen mufs.
~ 14.
Methode zur Auflösung der Gleichung y2 = a + bx + ex' + dx3 + ex'
in rationalen Zahlen.
452.
Nachdem wir dazu geführt worden sind, die Auflösung der unbestimmten Gleichungen zweiten Grades ausführlich zu behandeln,
müssen wir einer Methode Erwähnung thun, welche von
Fermat für die rationale Auflösung der Gleichung
y= a + bx + ex2 + dx3 + ex4,
deren rechte Seite ein rationales, den vierten Grad nicht übersteigendes Polynom ist, angegeben worden ist. Die hauptsächlichsten
Fälle, in denen die Auflösung möglich ist, sind folgende.
1) Wenn die Zahl a gleich einer positiven Quadratzahl f2 ist, so
geben die Werte x = 0, y f unmittelbar eine Lösung der gegebenen Gleichung. Um eine andere Lösung zu erhalten, setzen wir:
a + bx + ex2 + dx3 + ex4 = (f+ gx + hx2)2.
Dies giebt, wenn wir entwickeln und ordnen:
0 = f2 + 2fgx + 2fhx' + 2gy1hx + h2x
- a- bx- ex - dx3 -- ex4
+ g2x2.
Nun ist bereits 2 == a. Setzt man, um die beiden folgenden Glieder
verschwinden zu lassen,
2fg - b = 0, 2fh -c + g2 = 0,
so erhält man die Werte der Koefficienten g und h, nämlich:
b C - g2
g- 2f ' -f