Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 13. Über die Gleichung x3 -+ ay3- bz:. 119
mithin:
(y - )2 pq2 - 4q3 + 18pqr - 4p3r - 27r2.
Es mufs somit die rechte Seite ein vollständiges Quadrat sein.
Nennen wir diese rechte Seite Q2, so ist
Q = +~ (y - Z) + (a - p) (/ - r) (r - "),
und die vorstehende Gleichung läfst sich auf die Form bringen:
4(p2 - 3q)3 = (2p3 - 9pq + 27r)2 + 27 Q2.
Nimmt man also an, dafs die Zahlen p, q, r ganze Zahlen seien, und
bringt man p2- 3q auf die Form 2"(2m + 1), so mufs n gerade
und zugleich 2m -+ 1 von der Form f2 + 3g2 sein; denn wenn eine
von diesen beiden Bedingungen nicht stattfände, so könnte man die
linke Seite der Gleichung nicht auf die Form P2 + 27Q2, welches
die der rechten Seite ist, bringen.
Endlich folgt aus eben diesem Satze, dafs, wenn die Gleichung
x- px2 + qx - r =
drei rationale Wurzeln hat, der Ausdruck einer von diesen Wurzeln,
welcher durch die Cardanische Formel dargestellt wird, immer
von der Form ist:
x-= - A + A + | -5'B -
wobei A und B und ebenso auch A/2 - - B2 rational sind.
Stellt man durch
yJ3 _pV + qV- r 0
die Gleichung dar, deren, positiv oder negativ genommene, Wurzeln
x, y, z der Gleichung
xn + yn + zn = 0
genügen sollen, wo n eine Primzahl ist, so kann man die linke Seite
durch eine Funktion von p, q, r ausdrücken, welche, gleich Null
gesetzt, die erste Gleichung des Problems ist. Aufserdem mufs die
Funktion
4 (2 - 3q)3 - (2) - 9p;q + 27r)2,
welche für alle Werte von n dieselbe ist, von der Form 27Q2 sein.
Diese beiden Gleichungen können, wenigstens in speciellen
Fällen, die Auflösung der Gleichung xn + -y- + zn = 0 erheblich erleichtern oder zum Beweis der Unmöglichkeit derselben führen. Man kann ferner noch Folgendes bemerken:
1) Der Koefficient p, welcher gleich der Summe x + y + z ist,