Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

118 Vierter Hauptteil.
450.
Man kann bemerken, dafs die Formeln des Artikel 444, auf die
Gleichung
x3 -+ y3 A
angewandt, das Hiilfsmittel an die Hand geben zur Auffindung von
unendlich vielen Lösungen dieser Gleichung, sobald man eine einzige
solche kennt, so dafs also die Summe zweier gegebenen Kuben
f3 +g 9 auf unendlich viele Arten in die Summe zweier andern Kuben transformiert werden könnte. Denn setzt man:
f(f3 + 2 3), (2f3 + g3),I f'-3_3 f3 ga?
so folgt aus diesen Formeln die Gleichung:
f3 + g3 = f'3 + g'3.
Mittelst analoger Formeln erhält man:
f/3+g '3 = f3 + g, 3
u. s. f. ins Unendliche. Hätte man also f3 + 3 = h3, so würde diese
Lösung der Gleichung x3 + y3 + z3 = 0 unendlich viele andere liefern.
Wir wissen jedoch, dafs eine solche erste Lösung nicht existiert.
451.
Wir beschliefsen diesen Paragraphen mit einem Satze, der bei
verschiedenen Untersuchungen aus der unbestimmten Analysis von
Vorteil sein kann.
Satz. Hat die Gleichung x3 - px2 + qx - r = 0 drei rationale Wurzeln, so mufs die Gröfse
A =p2q2 _ 4q3 + 18pqr - 4pr - 27r2
ein vollständiges Quadrat sein.
Sind nämlich a, p, y die drei rationalen Wurzeln der gegebenen
Gleichung, und sucht man die Werte der Gröfsen y und S, welche
auf folgende Weise gebildet sind:
y = C2/ + ß2y + y2~
-,2 y + ß2a + y2ß
so müssen diese Gröfsen ebenfalls rational sein. Nun findet man aber
nach bekannten Formeln:
y + =-pq - 3r
yz = q3 + p3r - 6pqr + gr2