Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 13. Über die Gleichung x3 + ay3 = b3. 117
p +- + 2p+ --.
Hieraus folgt:
p - --- 2, q (l+p ) 21. 3
p= - 2, q=
7 —p3
Man erhält daher unmittelbar die Lösung 1, p, q oder 1, - 2, - 1
oder 2, -1, 1, und dies ist in der That die erste Lösung, von der
wir ausgegangen waren.
Dasselbe Resultat würde man, jedoch weniger leicht, aus den
allgemeinen Formeln ableiten, bei denen man von den Hülfsgröfsen
l, /,, v Gebrauch macht, um den Wert von p zu bestimmen. Man
erhielte alsdann:
1 j/ +n1 3 7
V 2 5 2
Kl~ = V 25 5 /28
4-V v^
\5
oder näherungsweise:
A= 0,9109768
=- 1,5690611
v - 0,1728540.
Sodann werden die beiden Gleichungen zur Bestimmung von p:
p2 + 2,3690611p + 0,7381228 = 0
p- 0,7690611p + 1,0838308 - 0.
Die zweite Gleichung hat zwei imaginäre Wurzeln; die erste giebt
die beiden reellen Wurzeln p = - 2,000000, p = - 0,3690611,
jedoch ist der Wert p - 2, der, wie wir wissen, richtig ist, der
allein brauchbare. Man kann dies auch ohne Hülfe der Decimalbrüche finden, wenn man beachtet, dafs man im gegenwärtigen Falle,
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wo m= -- ist, erhält: u == -- + -A- 2-7;A2, und ferner
A+f- 2 12 - 2
Dieser Wert giebt, in die Formel
p = - - (mn + )+ /{-( + ) - v
eingesetzt, die beiden Wurzeln:
S -2 und p 6 2 8 0
p=- 2 und /)~ =5 15 - - 9 -7+-a