Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 13. Uber die Gleichung x3 +ay3 = bz. 115
oder:
A4- 4A21B -+ B2 + 6AC= (0.
Sodann erhält man:
I-= (A1 2 B),
und die Gleichung zur Bestimmung von y wird:
y _= (A._M+ C)2 _-1(M/ + B)2__ =C2 _ M3_ C2- (A2 2)3.
q- 4A+ -- B
Substituiert man an Stelle von C seinen Wert - A4 -,AB so
6,A
folgt:
73_ (A+ B)3 (3B-A 2)
4A2
Y n = 4z~!3~A 2
A2$B JX 3B - A2
und somit:
x /A2_-2B A2+B 3B-A2
| ---i 3s + - — 3 4A2-'
Diese Auflösungsformel ist weit einfacher als die,
welche die gewöhnliche Cardanische Formel geben würde.
Indessen liegt der Gedanke nahe, dafs sie beide nicht wesentlich von einander verschieden sein dürfen, und dafs sich somit
die zusammengesetztere auf die einfachere zurückführen lasse. Dies
wollen wir im Folgenden zeigen.
448.
Wenn man in der gegebenen Gleichung
x3 + Ax2 + Bx + C = O
z- A
setzt x -, so erhält man die transformierte Gleichung:
3
z3 +- + q 0,
in welcher
p - 3A2 + 9B
q = 2A3- 9AB + 27C
ist. Setzt man an Stelle von C seinen Wert, ausgedrückt durch A
und B, so wird:
5A4 - 18A2B + 9B2
qC z ----2A
und hieraus folgt:
1 2 1 3 9A8-36A6B-18A4B2+108-A2B3+ 81B4
4! J 27 = 16A2
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