Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

114 Vierter Hauptteil.
Diese Gleichung ist sehr bemerkenswert, insofern man ihr durch
den Wert
- ==l/mn + 2,
genügt, während A durch die Formel
+ am3 7 k / - k2+ m 2m2
A2a2 k y ak2 q- 8in nt- 2m2
bestimmt wird. Man findet leicht, dafs die Gleichung in K eine reelle
und zwei imaginäre Wurzeln hat. Man sieht also, dafs die reelle
Wurzel durch die Formel ]/m2 + 221 gegeben ist, d. h. durch eine
Quadratwurzel aus einer Gröfse, welche aus dem rationalen Teile m2
und dem eine Kubikwurzel darstellenden Teile 22 besteht. Diese
Form der Wurzel einer Gleichung dritten Grades ist nicht
dieselbe wie die, welche die Cardanische Formel giebt, da
letztere aus einem rationalen Teile verbunden mit zwei Kubikwurzeln
aus Gröfsen von der Form A -+ /B, A-]/B besteht.
447.
Wir wollen nun die Gleichungen dritten Grades, welche
sich ebenso lösen lassen, wie die Gleichung in Lt, a priori
zu bestimmen suchen.
Betrachten wir zu dem Zwecke die Gleichung:
x3 + Ax2 + Bx + C= O,
und setzen wir x2 = M t- y, so ergiebt sich:
x( +M+ B) = - Ay -AM-C,
und wenn wir beide Seiten ins Quadrat erheben:
(y + M) (y2 + 2 [M + -B]y + [M+ B]2) - (Ay + AM + C)2 = 0,
oder entwickelt:
y3+ 2(M+B)y2+(M+B)2y + M( +B
+ My2 + 2A(M-{+ B)y- (AM+- C)"2 =.
-- A2y2 - 2A(A(M+C)y
Sollen nun in dieser Gleichung die mit y2 und y behafteten
Glieder verschwinden, so mufs man den beiden Bedingungsgleichungen
genügen:
A2 3 M + 2B
2AC B — 3M2.
Eliminirt man also M, so ist die Bedingungsgleichung:
3B 2 - AC=(A2 -- )2