Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 13. Über die Gleichung x + ay3 == bz3. 113
4 ___ xp+ )
1 +2ap3 3p 1
und vermittelst dieses Wertes findet man y = px, z = qx.
Übrigens braucht man nicht erst den Wert von x, welcher
irrational oder selbst imaginär sein könnte, zu kennen; denn offenbar
kann man an Stelle der drei Werte x, px, qx einfach, als ob x = 1
wäre, die Werte 1, p, q nehmen. Somit reduciert sich alles darauf,
den Wert von p durch die Gleichung
ap4 + 2am p3 + 2p + m == 0
zu bestimmen, und zwar wird dieser Wert nur dann eine Lösung
geben, wenn er rational ist.
446.
Wir nehmen.an, dafs man dieser Gleichung durch den Wert
p = k genüge, aus welchem
a 2+ — }
a k3 k7+ 2m
folgt. Die vorstehenden Gleichungen zwischen A, it, v müssen mit
der Gleichung p2 + (mn + t)p + A + v = 0 verbunden werden. Da
dieselbe durch den Wert p k befriedigt wird, so ergiebt sich aus ihr:
A + - 2 - (m + E)k.
Es ist aber:
2A2 =- 2 - m2,
mithin:
2v = in2 - 2k - 2k2 - 2tk - A2.
Multipliciert man mit,t und setzt sodann für gv seinen Wert
1 1 1
mna -a oder -m(2 -m2) a ' so erhält man:
m(,2 - in2) - - = - - 2ki2 + (m2 - 2mk - 2)kl
oder:
3 + (2k + mn),U2 + (2k2 + 2mk - m2)lt- in - 2 0
Diese Gleichung bestimmt unmittelbar den Wert von,L. Dieselbe
wird homogen in Bezug auf g, n und k, wenn man für - seinen
a
Wert - 2k3 k2 +n m einsetzt. Man kann sie nämlich folgendermafsen
schreiben:
0 = (2k7 + m)i3 + (2k + m)2pu2 + (2k + m)(27k2 + 271cz - i2)
+ 27 3(k + 2m) - m3(27 + - ).
L e d r e, Zahlenthcorie II. 8