Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 12. Uber d. ganzzahlige Aufl. d. unbetilmmten Gleich. zweiten Grades. 107
r' = f"r + x '(' — l' f +...
x /f'x ++
so erhält man, wenn man die Vielfachen von wo wegläfst:
G'=0, und F= xf'X=1.
Nach Weglassung derselben Vielfachen reduciert sich also die Gröfse
AF - + G + v auf Af + ~gy + v, sie ist daher teilbar durch co.
Da alle in der Formel n = qx + p enthaltenen Werte von n
der Aufgabe genügen, so giebt es stets einen unter diesen Werten,
welcher kleiner als q ist, so dafs man immer p<q annehmen kann.
Um also den Exponenten p zu erhalten, welcher die erste Lösung
giebt, mufs man (p + 4 VA der Reihe nach auf die Potenzen vom
Grade 0, 1, 2, 3,... q- 1 erheben und versuchen, für jede durch
f-+ y- /A dargestellte Potenz, ob sich die Gröfse Aff- y-g -+v durch
co teilen läfst. Man kann auch die Reihe der Gröfsen Af + uy direkt
bilden, wenn man beachtet, dafs diese Reihe rekurrent und ihre Beziehungsskala 2, - 1 ist, woraus sich ergiebt, dafs man mit Hülfe
der beiden ersten bekannten Glieder A, A;p + i-'P leicht alle andern
bilden kann. Diese Rechnungen sind um so leichter, als man die
Vielfachen von co, so oft sie vorkommen, weglassen kann. Wenn
die Aufgabe möglich ist, so mufs man unter den q ersten Gliedern
der in Rede stehenden Reihe eins oder mehrere finden, für welche
<;f'- tg + v = 0 ist.
442.
Kennt man den kleinsten Exponenten p, für welchen Af-[- +t -- v
durch eine Primzahl teilbar ist, so kann man folgendes Verfahren
einschlagen, um a priori einen Wert von n zu bestimmen, fiir welchen FF —+ G +- v durch eine gegebene Potenz von co teilbar wird.
Wir bemerken zunächst, dafs man allgemein die Gleichung
L+M++ 2x + No + 2 + Qc3 +...
in welcher L und M gegebene Zahlen und N, P, Q,... beliebige
ganze Funktionen von x sind, aufzulösen im Stande ist. Dazu mufs
man x so bestimmen, dafs L + Mx eine ganze Zahl ist. Hat man
co
x = - cox' gefunden und setzt man diesen Wert in die gegebene
Gleichung ein, so wird dieselbe von der Form:
L' + M'x' + iV'w + 1 cw2 + Q'o + _.
_.._ ^ ^ _.. - _ _....