Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

106 Vierter Hauptteil.
in welcher der Exponent n unbestimmt und 9p 2-q /A1
ist, gegeben sind, so sollen alle Werte von n von der Beschaffenheit gefunden werden, dafs die Gröfse F-t- -G+v
durch eine Primzahl c, die nicht in Ap aufgeht, teilbar sei.
Ein Verfahren, welches von Lagrange (Abh. der Berliner Ak.
1767) für die Auflösung dieser Aufgabe angegeben worden ist, besteht in Folgendem:
Wir nehmen zunächst an, dafs man einen Wert des Exponenten
n kenne, welcher der Aufgabe genügt. Ist dieser Wert p, so mufs,
wenn man ( + ]/A)i )=/'+ g /A setzt, die Gröfse ^+7 ++
eine ganze Zahl sein. Wir suchen sodann einen Exponenten q, so
dafs, wenn man ( + 4- l/A)' = f' + g' /A setzt, die Zahl g' durch
co teilbar ist. Ein solcher Exponent existiert sicher, da man stets
der Gleichung x2 - Acoy2 = 1 genügen kann. Ist dieser Exponent
gefunden, so kann man gleichzeitig annehmen, dafs f'- 1 durch w
teilbar ist. Wäre dieses nicht der Fall, so könnte man den Exponenten q verdoppeln und würde, wenn man
( + 1 A)2 -= (t + f' VA-1)2- f" r g VA
setzte, erhalten
f f'2 + Ag'2 1 - 2A'2 und g"- 2f'
so dafs f" — 1 und g" zu gleicher Zeit durch co teilbar wären. Führt
man also die passenden Vorbereitungen aus, so findet man stets einen
Exponenten q von der Art, dafs, wenn man (p + 4t /A)q = f' + g' V A
setzt, die Zahlen f'- 1 und g' beide durch co teilbar sind.
Wir behaupten jetzt, dafs, wenn man n == qx + - setzt, die
gegebene Grösse F- + r-G + v durch co teilbar ist, welches auch
die ganze Zahl x sein möge. Denn ist:
(tf' + g' A)= -F'+ G'y A,
so erhält man:
F + G:-/2 (/'+ Y AV)(F' + G' /A)
und hieraus folgt:
F-fF'+ gAG', G fG' + gF
und
AF + F G + v = (w + i)F' + (44 -1 + n/f) (s + I)
Da jedoch die entwickelten Werte von 1' und G' sind: