Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

104 Vierter Hauptteil.
einsetzt und zusieht, welches diejenigen sind, für welche y und z
ganze Zahlen werden.
Man kann sich ferner der Mühe überheben, den Fall zu discutieren, wo b2 - 4ac, obwohl positiv, einer Quadratzahl gleich ist, weil
alsdann die transformierte Gleichung ebenfalls nur eine beschränkte
Anzahl von Lösungen hat (No. 78). Es bleibt also nur der Fall
zu untersuchen übrig, wo b2 - 4ac eine positive, nicht quadratische Zahl ist.
440.
Alsdann besitzt die transformierte Gleichung, falls sie überhaupt
lösbar ist, unendlich viele Lösungen, welche in einem oder mehreren
Systemen enthalten sind, und jedes System kann dargestellt werden
durch die Formeln:
= yF - d' G
z' =F+ 4G
( + 1/b2 ac)4 =) F + G /A2 4 a c.
Um die Betrachtung besonderer Fälle zu vermeiden, nehmen wir
an, dafs diese Formeln derartig vorbereitet seien, dafs die Zahlen
Y, 6, Es q, 49 ganze Zahlen sind, und dafs der Exponent n eine
beliebige Zahl ist. Zuweilen giebt die unmittelbare Auflösung für
diese Koefficienten mit dem Bruche - behaftete Zahlen, auch kann
es vorkommen, dafs der Exponent n von bestimmter gerader oder
ungerader Form ist. Jedoch ist es in allen Fällen leicht, die Formieln auf die vorausgesetzte Form zurückzuführen, in welcher alle
Zahlen ganz und der Exponent n beliebig ist. Ferner mufs man sich
erinnern, dafs stets
2 _- 2(b2 - 4ac) = 1
ist.
Dies vorausgeschickt, handelt es sich darum, allgemein einen
Wert von in zu finden, dafs die Gröfsen:
_ 'YF + G + o: b __ s + Gr +
Y3 b2 4-ac b2- 4ac
ganze Zahlen werden. Nun hat man:
h (,Z - 1)
= = n + n-t Q-i22(2 - ( 4 - ac) +
-- hq1U- 1~ + n(n -- 1)(n -2) ~-In3 c) +1L
Setzt man daher diese Werte von F und G ei so sieht man, d
Setzt man daher diese Werte von F und G ein, so sieht man, dafs