Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 11. Bestimmung d. Anzahl d. Glieder e. arithm. Progr., welche u. s. w. 101
man jeden ambigen Teiler, d. h. jeden Teiler, welcher zu einem der
drei Fälle q = 0, r = 2q, p = r gehört, nur für - rechnet, so ist
2k- 9(N) die Anzahl der Primzahlen, welche in dem Teiler A enthalten und kleiner als N sind, falls dieser Teiler nicht ambig ist.
Ist derselbe aber ambig, so ist die Anzahl der Primzahlen nur halb
so grofs, nämlich gleich 4k (_N).
Dieses Resultat gründet sich einerseits darauf, dafs die verschiedenenl Formen 4ax -- a oder 2ax +- a, welche jeder Gruppe von
quadratischen Teilern entsprechen, arithmetische Progressionen darstellen, auf welche sich alle Primzahlen, welche Teiler von t'2 + ait2
sind, und deren Gesamtanzahl - Y(N) ist, gleichmäfsig verteilen.
Andrerseits beruht dasselbe darauf, dafs, wenn man geinäfs den
allgemeinen Gliedern A == y2 + 2qyh + rh2-, A' '= p'2 + 2qyh -j- r' 2,
in denen A und A' zwei zu derselben Gruppe gehörige quadratische
Teiler sind, und in denen h einen und denselben konstanten Wert
besitzt, während y nach und nach die Werte 0, 1, 2, 3, 4,... annimmt, zwei Reihen bildet, diese beiden Reihen mit den arithmetischen
Reihen die Eigenschaft gemeinsam haben, dafs die durch dieselbe
Primzahl a teilbaren Glieder in einem Zwischenraum voln Gliedern
auf einander folgen, woraus man schliefsen kann, dafs sie eine gleiche
Anzahl von Primzahlen, welche in der Formel t2 + azu2 aufgehen,
enthalten müssen, und zwar wird diese Gleichheit um so genauer
sein, je gröfser die Grenze N ist.
438.
Betrachten wir z. B. in der Tafel IV die Formel t2 + 69.u2 Iund
den quadratischen Teiler derselben A =- 2y2 +- 2yz + 35z2, so gehört
dieser Teiler zu einer aus zwei ambigen Teilern bestehenden Gruppe,
und die Anzahl der Gruppen ist 4. Demnach hat man k = 4,
1 1
-= 2. - = 1, und dies giebt die gesuchte Zahl x = i- (q(N). Setzt
man daher die gegebene Grenze N- 100000, so erhält man mit
1
Hülfe der bekannten Formel: (p(N) = 9588 und x = -i6 (N) = 599,
d. h. es mufs 599 Primzahlen geben, welche in dem quadratischen
Teiler 2y2 + 2yz + 35z2 enthalten und kleiner als 100000 sind.
Betrachten wir ferner in der Tafel VI die Formel t2 + 106tz2
und den quadratischen Teiler derselben A =- 22y2 + 4yz + 5z2, so