Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

100 Vierter Hauptteil.
ebensoviel Primzahlen entlii lt, als die Gr(f[se k, (p(A) Einheiten besitzt.
Aus ~ 8 wissen wir, welches der angenäherte Wert von l (nA)
ist. Es ergiebt sich daraus, dafs die Formel
1 nA
' log (n A)- 1,08366
mit hinreichender Genauigkeit zeigt, wieviel Primzahlen es in der
Progression A- C, 2 A -- C, 3A - C,... nA - C giebt.
So ist z.B. in der Progression 59, 119, 179,..., deren allgemeines
Glied 60n - 1 ist, die Zahl 7k, welche sich aus den einfachen Faktoren 2, 3, 5 der Zahl 60 ergiebt, gleich 30 1(1 - — ) ==16,
mithin:
15
4
log (60()) --- 1,08366
Demnach mufs man unter den 100 000 ersten Gliedern dieser Progression ungefähr 25 820 Primzahlen finden, also ein wenig mehr als
den vierten Teil aller Glieder.
437.
Nunmehr ist es leicht zu bestimmen, wieviel Primzahlen ein
gegebener quadratischer Teiler A =py2 +- 2qyz + rz2 der
Formel t2-+ au2 enthält, welche kleiner sind als eine gegebene Grenze N.
Bezeichnet zu dem Zwecke p (N) die Gesamtzahl der Primzahlen
welche kleiner sind als N, so drückt 2 qc(N) die Anzahl der Primteiler von t2 + atu2 aus. Nehmen wir an, dafs die quadratischen
Teiler dieser Formel in k Gruppen zerfallen, deren jede, wie wir in
den Artikeln 207 und 208, deren Resultate sich unmittelbar in
den Tafeln IV, V, VI, VII bestätigt finden, gesehen haben, eine
gleiche Anzahl von linearen Formen 4ax + a oder 2ax - a enthält,
so mufs jede Gruppe ebenso viele Primzahlen enthalten, als es in
1
der GröSse - p (N) Einheiten giebt. Wird sodann die Anzahl der
quadratischen Teiler, welche in der Gruppe, zu welcher A gehört,
enthalten sind, mit tt*) bezeichnet, wobei darauf zu achten ist, dafs
*) Diese Zahl / ist dieselbe in allen Gruppen, in welche die säiitlichen
quadratischen Teiler einer und derselben Formel t2 -+au2 zerfallen, wie man
ans den angefühlrten Tafeln sehen kann. Auz m. d. Verf.