Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

98 Vierter Hauptteil.
434.
Ist a eine Primzahl, welche kleiner ist als J/nA und nicht in
A aufgeht, und ~o eine positive Zahl, kleiner als a, und von der
Beschaffenheit, dafs A~- + C durch a teilbar ist, so haben wir oben
in No. 421 gezeigt, dafs die Anzahl der durch a teilbaren Glieder
der Progression, deren allgemeines Glied durch nA - C dargestellt
wird, ausgedrückt ist durch E ( ---- )
Sind nun a und ß zwei Werte von o~, die sich auf zwei besondere Werte von C z. B. Cip und Cq beziehen, so ist ersichtlich, dafs
die beiden durch E n- + -) E ( +- -) bezeichneten Zahlen entweder
gleich sind oder sich nur höchstens um eine Einheit unterscheiden
können. Mithin ist die Anzahl der durch a teilbaren Glieder der
Progression, deren allgemeines Glied nA - Cp ist, gleich der Anzahl
der analogen Glieder in der Progression, deren allgemeines Glied
nA - Cq ist, oder von dieser höchstens um eine Einheit verschieden.
Ebenso verhält es sich mit den durch a nicht teilbaren Gliedern,
deren Anzahl in der einen und der andern Progression höchstens um
eine Einlheit verschieden sein kann.
435.
Sind e,,1,... die verschiedenen Primzahlen, welche kleiner
als V/nA sind und in A nicht aufgehen, ist ferner NY die Anzahl
der Glieder der Progression A - Cl, 2A - Cp,... nA - Cp, welche
übrig bleiben, nachdem alle durch eine der Primzahlen a,;l, c,...
teilbaren Glieder ausgeschieden sind, ebenso iY die analoge, auf die
Progression A - Cq, 2A - Cq,... nA - Cq sich beziehende Zahl,
so kann dem vorhergehenden Resultate zufolge die Differenz zwischen
Np und Nq niemals gröfser sein als die Anzahl der Primzahlen,
welche kleiner als I/z A sind. Wir bezeichnen diese Anzahl durch
m = qp (v/n A).
Andrerseits müssen die Zahlen Ni, N,... Nk, welche den k verschiedenen Werten von C entsprechen, in ihrer Gesamtheit die verschiedenen Primzahlen ergeben, welche zwischen ]/nA und nA enthalten sind. Die Summe dieser Zahlen wird somit dargestellt durch
M = cp (nA) - D (VI nA).
Diese beiden Bedingungen können nur dann erfüllt werden, wenn
man allgemein hat: