Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

Inhaltsverzeichnis zum zweiten Bande. IX
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In jedem Falle kann man durch eine einzige Formel und ohne Zweideutigkeit alle Wurzeln der Gleichung in p, die im allgemeinen
2i i
dargestellt werden durch 2 cos, ausdrücken........ 315
Sechster Hauptteil.
Beweis verschiedener Sätze aus der unbestimmten Analysis.
~ 1. Es wird die Aufgabe gestellt, eine gegebene Zahl a in vier Quadrate zu
zerlegen, derart, dafs die Summe ihrer positiv genommenen WVurzeln
gleich einer gegebenen Zahl b ist................ 324
Erster Fall, wo eine der vier Zahlen s, t, u, v gleich Null ist. Bedingung für die Möglichkeit der Lösung............ 325
Zweiter Fall, wo keine dieser Zahlen gleich Null ist. Alsdann ist
4a-b2 die Summe dreier Quadrate, und somit darf die Zahl 4a-b2
nicht von der Form 4(8n + 7) sein.............. 327
Unter dieser Bedingung ist die Auflösung immer möglich. Damit sie
jedoch durch positive ganze Zahlen gegeben werde, mufs b zwischen
den Grenzen 1/4a und 1/3a -2 -1 liegen. Indessen giebt es auch
Fälle, in welchen man die Lösung in positiven ganzen Zahlen erhält,
obwohl b unterhalb der Grenze /3 a- 2 - 1 liegt........ 329
Diese Untersuchung liefert eine neue Erweiterung der beiden ersten
Fälle des Satzes über die Polygonalzahlen........... 332
~ 2. Beweis des Fermat'schen Satzes über die Polygonalzahlen und einiger
andrer analoger Sätze................... 332
Nach einigen vorbereitenden Sätzen wird bewiesen: 1) Jede ganze Zahl,
welche gröfser ist als 50m + 21, ist die Summe von m -+2 Polygonalzahlen von der Ordnung m + 2, von denen m - 2 entweder
gleich Null oder gleich der Einheit sind; 2) Dasselbe gilt für jede
ganze Zahl, welche kleiner ist als 50m + 21.......... 339
Diese beiden Sätze enthalten den allgemeinen Fermat'schen Satz in
sich, aber mit einer Einschränkung, welche demselben eine grofse
Präcision und Eleganz verleiht, dafs nämlich unter den m +2 von
Fermat geforderten Polygonalzahlen stets nm-2 sich befinden, die
man gleich Null oder gleich 1 zu setzen hat.......... 342
Man kann ferner beweisen, dafs, nachdem eine gewisse für jede Ordnung der Polygonalzahlen leicht anzugebende Grenze überschritten
ist, jede gegebene Zahl in vier oder höchstens in fünf Polygonalzahlen zerlegbar ist...................... 343
Beispiel für die Zahl 6484, die ih vier Oktogonalzahlen zerlegbar ist. 346
~ 3. Über die Gleichung X3 + y33 _+ z3................... 348
Die Unmöglichkeit dieser Gleichung ergiebt sich aus den folgenden drei
Sätzen:
1) Wenn diese Gleichung möglich sein soll, so mufs eine der Zahlen
x, y, z durch 3 teilbar sein.
2) Diejenige der Unbestimmten, welche gerade ist, ist zugleich durch
3 teilbar.