Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 11. Bestimmung d. Anzahl d. Glieder e. arithm. Progr., welche u. s. w. 89
2) Ist O < /a, so bezeichnen wir mit co'", c... die Primzahlen, welche auf o folgen von co bis zu l/a, ferner mit a, a "'...
die gröfsten in den Brüchen a" a -.-~, enthaltenen ungeraden
ganzen Zahlen. Alsdann kommen unter den Gliedern, deren Anzahl
durch T(1) dargestellt ist, zunächst alle Primzahlen von o' bis a
vor, und diese geben zusammen mit dem ersten Gliede 1, welches
stets zu den übrigbleibenden gehört, die Zahl N(o', ac) + 1 oder
N(o, a). Sodann treten darunter auf die Zahlen, welche aus der
Multiplikation von co' mit jeder der Primzahlen von o' bis a' entstehen und deren Anzahl N (to', a') ist, u. s. w. Man erhält daher:
TQ( ) = N(, a) + N(6o', a') + N (6o, a") +..
Diese Gröfse kann man leicht mit Hülfe einer hinreichend weit
sich erstreckenden Primzahltafel berechnen. Fängt man nämlich bei
den letzten Gliedern.an und kennt man z. B. den Wert von N(co", a"),
so findet nan daraus NV(o', a')= N(o,", a") + N(a", a'), wo der
Ausdruck N(a", a') die Anzahl der Primzahlen von a" bis a' einschliefslich, oder, falls a" keine Primzahl ist, diese Zahl vermehrt
um eine Einheit bezeichnet.
426.
Um eine Anwendung von diesen Formeln zu geben, suchen
wir den Wert von 1T ( 626 d. h. die Anzahl der Glieder der Progression 1, 3, 5, 7,... 1251, welche durch keine der Primzahlen
3, 5, 7, 11, 13 teilbar sind.
Zunächst finde ich, dafs es von 13 bis 1251 im Ganzen 199 Primzahlen giebt, so dafs also N(13, 1251)= 199 ist. Sodann dividiere
ich 1251 durch die Primzahlen 17, 19, 23, 29, 31, welche zwischen
13 und 1/1251 liegen. Die daraus entstehenden ungeraden Quotienten
sind 73, 65, 53, 43, 39. Aus der Tafel findet man aber N(31, 39) =2,
N(29, 43) = 2 + N(39, 43) 5, N(23, 53)= 5 + N(43, 53)- 8,
N(19, 65)8 65) 65)= 11, N(17, 73)= 11 + N(65, 73)- 15.
Die Summe dieser Zahlen ist 41; mithin T(6) =- 199+ 41 ==-240.
Die Näherungsformel (a) giebt in demselben Falle:
T( -) = 626 x 0,3836 = 240.