Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 11. Bestimmung d. Anzahl d. Glieder e. arithm. Progr., welche u. s. w. 87
y =' -- EL(j-) + XEQ-$ )- -l (Q — ) + * S + (')
Darin bedeutet
die Summe der ganzen Zahlen E (f1 + -) (nt ) E* *, welche von
den einfachen Zahlen af, i,... herrühren;
EE + (- )0 R -)
die Summe der ganzen Zahlen E(+ ( z)-, E(n- +E-() ), *
welche von den Produkten je zweier dieser Zahlen herrühren u. s. w.
Diese Gröfsen müssen für alle möglichen Kombinationen gebildet und mit denselben Vorzeichen versehen werden, wie die Glieder
mit gleichem Nenner in der Entwicklung des Produktes
(t )(1 -)(X - ) ).- (1- )
Man mufs jedoch beachten, dafs in der Formel (b') die Glieder
nicht weiter fortgesetzt werden dürfen, als die Nenner A das letzte
Glied der gegebenen Reihe An - C nicht übersteigen. Denn ist A
gröfser als An- C, so ist die Zahl A~, für welche AA~ + C durch A
teilbar wird, kleiner als A - n, und daher E( +-1 ~) - 0.
In dem Falle, wo n ein Vielfaches des Produktes;Ä t.... Wo
ist, reduciert sich jedes Glied E(+ ~- ) der Formel (b') auf -n
man kommt daher genau auf die Formel (a') zurück.
Ist allgemein n - 72 + m, so besteht der Wert von y
1) aus dem Teile k1( - 1) (; - 1) (o - 1), welcher dem
Werte n -= 1kQ entspricht, und
2) aus dem Teile, welcher dem Teile n = m entspricht und durch
die Formel (b') gegeben wird.
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In dein besonderen Falle, wo man die Progression der ungeraden Zahlen 1, 3, 5,... 2n-1 betrachtet, hat manA=-2, C= 1,
und der Wert von A~, für welchen 2A0~ + 1 durch A teilbar wird, ist
allgemein A~= ( - 1). Dies gestattet, alle Glieder der Formel (b')
unmittelbar zu bilden, und zwar ist jedes gleich + E (-n + -- ))
Soll man z. B. bestimmen, wieviel Glieder unter den 100 ersten
Gliedern der Progression l, 3, 5, 7, 9,... es giebt, die durch keine