Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik.

574 Gustav Wertheim:
zwei oder drei oder vier Quadratzahlen; entweder eine Fünfeckzahl oder die
Summe von zwei oder drei oder vier oder fünf Fünfeckzahlen; u. s. w.72).
2) Jede Primzahl 4 { +- 1 ist die Summe zweier Quadratzahlen 7).
3) Jede Primzahl 3n- + 1 ist die Summe einer Quadratzahl und des
Dreifachen einer Quadratzahl74).
4) Jede Primzahl der beiden Formen 8n + 1, 8n + 3 ist die Summe
einer Quadratzahl und des Doppelten einer Quadratzahl70).
5) Keine Dreieckzahl aufser 1 ist ein Biquadrat76).
Ferner bittet er sie, den Beweis der folgenden Sätze zu suchen, die er
für wahr halte, aber nicht beweisen könne:
1) Man erhält immer eine Primzahl, wenn man 1 zu einer Potenz
von 2 addiert, deren Exponent ebenfalls eine Potenz von 2 ist77).
2) Das Doppelte jeder Primzahl von der Form 8n - 1 ist die Summe
von drei Quadraten 78).
3) Das Quadrat einer Primzahl der Form 4 n + 3, die auf 3 oder 7
endigt, ist ebenso wie das Produkt zweier solchen Primzahlen die Summe
eines Quadrats und des Fünffachen eines anderen Quadrats.
Mit diesem Briefe fand der Streit sein Ende. DIGBY schickte denselben an WALLIS mit einem Begleitschreiben79), in welchem er sich verabschiedet, da er eine gröfsere Reise antrete.
Es ist eigentümlich, dafs WALLIS in der Selbsttäuschung befangen
war, er habe seinen Namen ganz besonders mit Ruhm bedeckt, während er
in Wirklichkeit eigentlich recht wenig geleistet hatte. Er nahm für sich
und BROUJNCKER den vollständigen Sieg in Anspruch, und in seinem Abschiedsbrief80) (30. Juni 1658) an den einflufsreichen DIGBY sagt er, die
Gegner würden sich wohl mit den Aufgaben, die die Engländer gelöst
72) Dieser auch in der Observatio zu IV, 31 des DIOPHANT (vergl. meine
Übersetzung S. 162) ausgesprochene Satz ist von CAUCHY bewiesen. Vergl. LEGENDRE,
Theorie des nombres, 3me ed. ~~ 151-157, 318, 632-652 und PAUL BACHMANN,
Zahlentheorie, 4ter Teil S. 154.
73) Bewiesen von EULER, Commentatt. aritlihmet. coll. I, p. 155.
74) Desgl. ebenda I, p. 295.
75) Bewiesen von LAGRANGE. Oeuvres T. III (Recherches d'Arithmietique).
76) Der Satz ist auch in der Observatio zu DIOPHANT VI, 26 (Meine Übersetzung S. 294) ausgesprochen. Den Beweis hat EULER gegeben. Comimentatt. etc.
I, p. 30.
77) Dieser Satz ist bekanntlich von EULER als falsch erwiesen worden. Commentationes arithmeticae collectae I S. 356. Übrigens hatte schon HUYGENS seine
Verwunderung darüber ausgesprochen, dafs FERMAT auf eine so wenig ausgedehnte
Induktion hin den Satz aufzustellen gewagt habe (Oeuvres completes, II. p. 212).
78) Vergl. LEGENDRE, Theorie des nombres. 3me ed. ~ 319.
79) Comm. ep2. XLVI. 80) Coimm. ep. XIV.